幂級數 $y = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^{k}}{k!}$ 為以下哪個方程式的解。 (A) $y'' = y^{2}$ (B) $y' = y$ (C) $y' = -y$ (D) $(y')^2 = 2y$

正確答案為 B。將冪級數展開可知其為指數函數 $e^x$，其微分等於自身，故滿足 $y' = y$。 (A) $y'' = e^x$，而 $y^2 = (e^x)^2 = e^{2x}$，兩者不相等。 (C) $y' = e^x$，而 $-y = -e^x$，兩者不相等。

國中教甄｜數學數學111 年第 29 題單選題

幂級數 $y = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{x ^{k}}{k !}$ 為以下哪個方程式的解。

A$y'' = y^{2}$

B$y' = y$正確答案

C$y' = -y$

D$(y')^2 = 2y$

答案與詳解

正確答案

將冪級數展開可知其為指數函數

e^{x}

，其微分等於自身，故滿足

y^{'} = y

。

A$y'' = y^{2}$✕ 錯誤

$y'' = e^x$，而 $y^2 = (e^x)^2 = e^{2x}$，兩者不相等。

B$y' = y$✓ 正確

C$y' = -y$✕ 錯誤

$y' = e^x$，而 $-y = -e^x$，兩者不相等。

D$(y')^2 = 2y$✕ 錯誤

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