設 $\alpha, \beta, p, q, r, s$ 為實數，如果 $\tan \alpha$ 和 $\tan \beta$ 為方程式 $x^{2} - px + q = 0$ 的二根，且 $\cot \alpha$ 和 $\cot \beta$ 為方程式 $x^{2} - rx + s = 0$ 的二根，試問 rs 等於下列何者？ (A) pq (B) $\frac{1}{pq}$ (C) $\frac{p}{q^{2}}$ (D) $\frac{q}{p^{2}}$

正確答案為 C。利用根與係數關係求出兩方程式的根之和與積，再將 cot 轉換為 tan 即可求得 rs 的值。 (A) 計算錯誤，未正確轉換 cot 與 tan 的倒數關係。 (B) 計算錯誤，誤將 r 與 s 的倒數相乘或搞錯分子分母。

國中教甄｜數學數學113 年第 18 題單選題

設 $α, β, p, q, r, s$ 為實數，如果 $tan α$ 和 $tan β$ 為方程式 $x^{2} - p x + q = 0$ 的二根，且 $cot α$ 和 $cot β$ 為方程式 $x^{2} - r x + s = 0$ 的二根，試問 rs 等於下列何者？

Apq

B$\frac{1}{pq}$

C$\frac{p}{q^{2}}$正確答案

D$\frac{q}{p^{2}}$

答案與詳解

正確答案

利用根與係數關係求出兩方程式的根之和與積，再將 cot 轉換為 tan 即可求得 rs 的值。

Apq✕ 錯誤

計算錯誤，未正確轉換 cot 與 tan 的倒數關係。

B$\frac{1}{pq}$✕ 錯誤

計算錯誤，誤將 r 與 s 的倒數相乘或搞錯分子分母。

C$\frac{p}{q^{2}}$✓ 正確

D$\frac{q}{p^{2}}$✕ 錯誤

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