已知三角形 $ABC$ 之三邊長分別為 $a, b, c$ ，且其外接圓半徑為 $R$ 。若 $R = \frac{a\sqrt{bc}}{b + c}$ ，試問 $\Delta ABC$ 的三內角之度數為下列何者？ (A) $45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$ (B) $30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$ (C) $45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$ (D) $60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$

正確答案為 A。利用正弦定理與算術幾何平均不等式，推導出該三角形必為等腰直角三角形。 (B) 此為直角三角形但兩股不相等（$b \neq c$），無法使算術幾何平均不等式的等號成立，故不符合。 (C) 此三角形無 $90^\circ$ 角，無法滿足 $\sin A = 1$ 的推導條件。

國中教甄｜數學數學113 年第 13 題單選題

已知三角形 $A B C$ 之三邊長分別為 $a, b, c$ ，且其外接圓半徑為 $R$ 。若 $R = \frac{a b c}{b + c}$ ，試問 $Δ A B C$ 的三內角之度數為下列何者？

A$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$正確答案

B$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$

C$45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$

D$60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$

答案與詳解

正確答案

利用正弦定理與算術幾何平均不等式，推導出該三角形必為等腰直角三角形。

A$45^\circ, 45^\circ, 90^\circ$✓ 正確

B$30^\circ, 60^\circ, 90^\circ$✕ 錯誤

此為直角三角形但兩股不相等（$b \neq c$），無法使算術幾何平均不等式的等號成立，故不符合。

C$45^\circ, 60^\circ, 75^\circ$✕ 錯誤

此三角形無 $90^\circ$ 角，無法滿足 $\sin A = 1$ 的推導條件。

D$60^\circ, 60^\circ, 60^\circ$✕ 錯誤

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