設 ，下列何者為正確？
A$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = -1$正確答案
B$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$
C$f(x,y)$ 在點 $(0,0)$ 處不連續
D函數 $f$ 在 $(0,0)$ 處不可微分
答案與詳解
逐選項解析
A$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = -1$✓ 正確
B$\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}(0, 0) = 1$✕ 易錯陷阱
承 A，正確計算結果為 -1。若誤將符號解讀為先對 $x$ 偏導再對 $y$ 偏導（即 $f_{xy}$），會算出 $f_x(0,y)=y$ 進而得到 1，此為常見符號混淆陷阱。
C$f(x,y)$ 在點 $(0,0)$ 處不連續✕ 錯誤
利用絕對值不等式 $|f(x,y)| = \left|\frac{xy(y^2-x^2)}{x^2+y^2}\right| \le \frac{|xy|(y^2+x^2)}{x^2+y^2} = |xy|$。當 $(x,y) \to (0,0)$ 時，$|xy| \to 0$，故極限為 0 且等於 $f(0,0)$，函數在原點連續。
D函數 $f$ 在 $(0,0)$ 處不可微分✕ 錯誤
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