$\Gamma = \left\{z(\theta): z(\theta) = e^{i\theta}, -\pi \leq \theta \leq \pi\right\}$ ， $a$ 為任意實數，則 $\int_{\Gamma} \frac{e^{az}}{z} dz = (A) \pi i$ (B) $-\pi i$ (C) $2\pi i$ (D) $-2\pi i$

正確答案為 C。利用柯西積分公式，將被積函數視為解析函數除以 z，直接代入極點值即可求得 2πi。 (A) 積分結果應為 2πi，此選項可能誤將路徑視為半圓或記錯公式係數。 (B) 積分結果應為 2πi，此選項可能誤判路徑方向為順時針且記錯係數。

國中教甄｜數學數學102 年第 28 題單選題

$Γ = {z (θ) : z (θ) = e^{i θ}, - π \leq θ \leq π}$ ， $a$ 為任意實數，則 $\int_{\Gamma} \frac{e^{az}}{z} dz =

A\pi i$

B$-\pi i$

C$2\pi i$正確答案

D$-2\pi i$

答案與詳解

正確答案

利用柯西積分公式，將被積函數視為解析函數除以 z，直接代入極點值即可求得 2πi。

A\pi i$✕ 錯誤

積分結果應為 2πi，此選項可能誤將路徑視為半圓或記錯公式係數。

B$-\pi i$✕ 錯誤

積分結果應為 2πi，此選項可能誤判路徑方向為順時針且記錯係數。

C$2\pi i$✓ 正確

D$-2\pi i$✕ 易錯陷阱

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