教檢-國民小學數學能力測驗108 年第 13 題單選題
將多個邊長為 1 的正方形依序向右緊密不重疊排列，並在其上方從最左邊開始，將多個兩股長皆為 1 的等腰直角三角形也依序向右緊密不重疊排列。除了第 1 個正方形外，問排到第幾個正方形時，三角形的頂點和正方形的頂點會重疊？
D正確答案
正方形頂點 x 座標為整數，三角形頂點 x 座標含 √2。因無理數不等於有理數，故永遠不可能重疊。
為什麼答案是 D
正確。正方形頂點 x 座標為整數 m，三角形頂點 x 座標為 ((2n-1)/2)√2。若重疊則 √2 = 2m/(2n-1)，這表示無理數等於有理數，產生矛盾，故永遠不可能重疊。
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完整詳解
Pro · 無限重點 正方形頂點 x 座標為整數，三角形頂點 x 座標含 √2。因無理數不等於有理數，故永遠不可能重疊。
正方形頂點座標為整數，三角形頂點座標為 √2 的倍數。無理數絕對不等於有理數，直接秒選 D。
逐選項分析
A✕ 陷阱
錯誤。14 來自 √2 ≈ 1.414 的近似值誤導。考生可能誤以為排到第 14 個時，計算結果會湊成整數，但數學上無理數乘非零有理數仍為無理數，不可能等於整數座標。
B✕ 陷阱
錯誤。141 同樣是 √2 近似值小數點後兩位的誤導。考選部故意設計這些選項，測試考生是否會用計算機按出近似值後，誤以為在有限位數內會發生「偽重疊」，忽略了嚴謹的無理數證明。
C✕ 陷阱
錯誤。1414 是 √2 近似值小數點後三位的誤導。無論近似值取到小數點後幾位，√2 的本質是無理數，其非零有理數倍永遠無法精確等於整數，因此不可能發生頂點重疊。
D✓ 正確
正確。正方形頂點 x 座標為整數 m，三角形頂點 x 座標為 ((2n-1)/2)√2。若重疊則 √2 = 2m/(2n-1)，這表示無理數等於有理數，產生矛盾，故永遠不可能重疊。
頂點座標分析
| 圖形 | 頂點 x 座標公式 | 數的性質 | 重疊條件 |
|---|
| 正方形 | m (m為正整數) | 有理數 (整數) | 無理數 ≠ 有理數 |
| 等腰直角三角形 | (2n-1)/2 * √2 (n為正整數) | 無理數 | 故永遠不重疊 |
利用 √2 ≈ 1.414 的近似值，誘導考生以為排列到 14、141、1414 時會因為「看起來像整數」而重疊。考生若依賴計算機近似值而非嚴謹的無理數性質，極易掉入此陷阱。 
