國小教甄｜普通科數學107 年第 9 題單選題

給定二次多項式 $f (x) = x^{2} + a x + b$ ，已知多項式 $x^{3} + 3 x^{2} + 4 x + 2$ 除以 $f (x)$ 其餘式為 $3 x + 2$ ，多項式 $x^{3} + x^{2} - x - 1$ 除以 $f (x)$ 其餘式為 $4 x + 1$ ，請選出正確的選項：

Aa=3正確答案

Bb=-1

C方程式 $f(x)=0$ 無實根

D$f(x)$ 的最小值為 $\frac{5}{4}$

答案與詳解

正確答案

利用多項式除法中「被除式減去餘式必為除式的倍式」之性質，因式分解後即可求得 f(x) 並得出 a=3。

Aa=3✓ 正確

由 x^3+3x^2+4x+2 減去餘式 3x+2 得 x^3+3x^2+x = x(x^2+3x+1)。因 f(x) 為首項係數 1 的二次多項式，故 f(x)=x^2+3x+1，可得 a=3。

Bb=-1✕ 錯誤

承上分析，f(x)=x^2+3x+1，因此常數項 b=1 而非 -1。

C方程式 $f(x)=0$ 無實根✕ 錯誤

D$f(x)$ 的最小值為 $\frac{5}{4}$✕ 錯誤

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精選詳解

給定二次多項式 f(x)=x2+ax+b ，已知多項式 x3+3x2+4x+2 除以 f(x) 其餘式為 3x+2 ，多項式 x3+x2−x−1 除以 f(x) 其餘式為 4x+1 ，請選出正確的選項：