台北市國小教師甄選-英語科基礎類科知能110 年第 58 題單選題
老師出了一個複合圖形的面積問題,二位學生在討論下面問題中灰色面積的列式。如左圖,GJ⊥HI,HJ=18 公分,JI=42 公分,GK=KL=10 公分,JL=15 公分。求灰色部份面積,即 △HIL 和凹四邊形 HKIG 的面積和。
甲:我把每一個灰色部份都列出算式為 21×18×15+21×15×42+21×10×18+21×42×10
乙:我利用等底等高的關係列出算式為 21×(18+42)×(10+15)
下列何者正確?
A只有甲對
B只有乙對
C甲、乙都對正確答案
D甲、乙都不對
C正確答案
甲用四個小直角三角形相加、乙用等底等高合併成 \\(\\tfrac12(18+42)(10+15)=750\\),兩種列式都正確,選 C。
為什麼答案是 C
甲以四個直角三角形分解、乙以等底等高合併,兩式皆得 750 cm²。
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完整詳解
Pro · 無限重點 甲用四個小直角三角形相加、乙用等底等高合併成 \\(\\tfrac12(18+42)(10+15)=750\\),兩種列式都正確,選 C。
1. 由圖可知 GJ⊥HI,K、L 都在 GJ 上,把灰色面積分成 △HIL(在 HI 下方一帶)與凹四邊形 HKIG(由 △HKG 與 △IKG 組成)。\n2. 甲的拆法:△HJL=½·18·15、△JIL=½·15·42、△HKG=½·10·18、△IKG=½·10·42 → 加總 =135+315+90+210=750。\n3. 乙的拆法:△HIL 用底 HI=18+42=60、高 JL=15;△HKG+△IKG 共用底 GK=10、高 HJ+JI=60,再以等底等高合併寫成 \\(\\tfrac12\\times(18+42)\\times(10+15)=\\tfrac12\\times60\\times25=750\\)。\n4. 兩式結果一致且推理合法 → 甲、乙都對,選 C。
逐選項分析
C✓ 正確
甲以四個直角三角形分解、乙以等底等高合併,兩式皆得 750 cm²。
甲、乙兩種列式的拆解與驗證
| 項目 | 重點 |
|---|
| 圖形結構 | GJ⊥HI,J 在 HI 上;K、L 都在 GJ 上。GJ = GK+KL+LJ = 10+10+15 = 35 |
| 甲:△HJL 面積 | \(\tfrac12\times HJ\times JL=\tfrac12\times 18\times 15\) |
| 甲:△JIL 面積 | \(\tfrac12\times JI\times JL=\tfrac12\times 42\times 15\) |
| 甲:△HKG 面積(凹四邊形之半) | 底 GK=10,對應高 HJ=18 → \(\tfrac12\times 10\times 18\) |
| 甲:△IKG 面積(凹四邊形之半) | 底 GK=10,對應高 JI=42 → \(\tfrac12\times 10\times 42\) |
| 甲合計 | \(135+315+90+210=750\) 平方公分 |
| 乙:等底等高合併 | △HIL 共用底 HI=18+42=60,高 JL=15;△HKG+△IKG 共用底 GK=10,高 HJ+JI=60;可進一步合併為 \(\tfrac12\times 60\times(15+10)\) |
| 乙計算 | \(\tfrac12\times 60\times 25=750\) 平方公分 |
| 結論 | 兩式都正確且結果相同 → 選 C |
要看出 K、L 都落在 GJ 這條垂直線上,△HKG、△IKG 才能以 GK=10 為底、以 HJ、JI 分別為高;同樣 △HIL 才能以 HI=HJ+JI=60 為底、JL=15 為高。沒看出共線關係就會誤以為乙的「等底等高」不成立。