台北市國小教師甄選-英語科基礎類科知能110 年第 53 題單選題
假設 abc 是個三位數，若將個位數與百位數交換，則可形成另一個較大之三位數 cba。若這兩個三位數之乘積為 71685，求 a+2b+3c=？
D正確答案
將 71685 質因數分解為 3⁵×5×59，正確配對為 135×531=71685，故 a=1, b=3, c=5，a+2b+3c=1+6+15=22。
為什麼答案是 D
正解：71685=3⁵×5×59=135×531，符合『百位與個位互換、十位相同』的條件。故 a=1, b=3, c=5；a+2b+3c=1+2×3+3×5=1+6+15=22。
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完整詳解
Pro · 無限重點 將 71685 質因數分解為 3⁵×5×59，正確配對為 135×531=71685，故 a=1, b=3, c=5，a+2b+3c=1+6+15=22。
設 abc=100a+10b+c, cba=100c+10b+a。對 71685 做質因數分解：71685÷5=14337；14337÷3=4779；4779÷3=1593；1593÷3=531；531=9×59=3²×59，故 71685=3⁵×5×59=243×295=135×531。檢查 135 與 531：百位與個位互換(1↔5)、十位同為 3 ✓。驗算 135×531=71685 ✓。所以 a=1, b=3, c=5，a+2b+3c=1+2(3)+3(5)=1+6+15=22。
逐選項分析
A✕
16 與正解 22 相差 6，可能是誤把係數當成 a+b+c=9 後再加 7 等錯誤湊數，或漏算 3c 中的倍數，與正確配對 (1,3,5) 代入結果不符。
B✕
若誤把 a+2b+3c 算成 a+b+2c+ 額外項，或將 (a,b,c) 抓成其他不符乘積條件的組合(如 1+2×4+3×3=18)，皆得 18，但無法滿足 abc×cba=71685。
C✕ 陷阱
陷阱：若把 a+2b+3c 誤算成 a+b+2c+3 之類，或以 (a,b,c)=(1,2,5) 代入得 1+4+15=20，看似合理但 125×521=65125≠71685，未通過乘積驗證。
D✓ 正確
正解：71685=3⁵×5×59=135×531，符合『百位與個位互換、十位相同』的條件。故 a=1, b=3, c=5；a+2b+3c=1+2×3+3×5=1+6+15=22。
三位數互換乘積題解題步驟
| 步驟 | 操作 | 本題實作 |
|---|
| 1 | 位值表示 | abc=100a+10b+c, cba=100c+10b+a |
| 2 | 質因數分解 | 71685=3⁵×5×59 |
| 3 | 尋找兩三位數因數對 | 243×295、135×531、165×... 等 |
| 4 | 套首尾互換+十位相同條件篩選 | 135 與 531：1↔5 互換、十位皆 3 ✓ |
| 5 | 代入目標式 | a+2b+3c=1+6+15=22 |
因數分解後常見多組三位數×三位數的配對（如 243×295、135×531），務必同時檢查兩個條件：(1)百位與個位恰好互換 (2)十位數 b 相同。漏掉任一條件都會選到錯誤組合。 
