五等-電子工程基本電學大意110 年第 33 題單選題
圖示電壓波形之平均值約為何？
A70.72 V
B63.66 V
C54.32 V
D45.02 V正確答案
D正確答案
波形為截頭正弦波(π/4到3π/4有效),每半週期只有中間半段有值,平均值需積分計算約45.02V
為什麼答案是 D
正確答案。波形在每半週期僅π/4到3π/4有值(寬度π/2)，平均值=(1/2π)×2×∫(π/4→3π/4)100sinθdθ=(100/π)×[-cosθ](π/4→3π/4)=(100/π)×(√2/2+√2/2)×2=(100/π)×√2≈45.02V
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完整詳解
Pro · 無限重點 波形為截頭正弦波(π/4到3π/4有效),每半週期只有中間半段有值,平均值需積分計算約45.02V
每個週期中,波形僅在π/4~3π/4及π+π/4~π+3π/4存在(共佔半週期一半),平均值=（1/2π）×2×∫(π/4到3π/4) 100sinθ dθ ≈ 45.02V
逐選項分析
A✕ 陷阱
70.72V ≈ 100/√2，這是完整正弦波的有效值(RMS)，不是平均值，張冠李戴的陷阱選項
B✕ 陷阱
63.66V ≈ 2×100/π，這是完整半波整流(全半週期都有波形)的平均值，未考慮本題波形只有半段有效
C✕
54.32V無對應標準公式，為干擾選項，計算路徑不符合本題積分結果
D✓ 正確
正確答案。波形在每半週期僅π/4到3π/4有值(寬度π/2)，平均值=(1/2π)×2×∫(π/4→3π/4)100sinθdθ=(100/π)×[-cosθ](π/4→3π/4)=(100/π)×(√2/2+√2/2)×2=(100/π)×√2≈45.02V
各種正弦波形平均值對照表(峰值Vm=100V)
| 波形類型 | 平均值公式 | 數值(Vm=100) |
|---|
| 完整正弦波(一週期) | 0 | 0 V |
| 全半週期半波整流 | Vm/π | 31.83 V |
| 全半週期全波整流 | 2Vm/π | 63.66 V |
| 截頭正弦(π/4~3π/4,本題) | (Vm/π)×√2×2÷2= Vm√2/π | ≈45.02 V |
| 正弦波有效值(RMS) | Vm/√2 | 70.72 V |
本題最大陷阱有兩層：第一層是把有效值(RMS=70.72V，選項A)誤當平均值；第二層是把完整半波整流平均值(63.66V，選項B)直接套用，忽略圖形顯示波形只存在於π/4到3π/4之間(有效寬度僅半個半週期)，積分區間必須對應圖形實際範圍。 
