北區衛生局進行地區性的收縮壓調查，共收集 100 個人的收縮壓數值，根據這個樣本計算出收縮壓母體平均數的 95%信賴區間為（109, 130）mmHg。若在調查前已由往年資料得知，收縮壓母體分配為常態分配且母體標準差已知，則下列推測何者錯誤？
A此調查得到的樣本收縮壓平均數為 119.5 mmHg
B樣本收縮壓平均數抽樣分配的標準誤約為 5.36 mmHg
C收縮壓母體標準差約為 43 mmHg正確答案
D依中央極限定理，收縮壓平均數的抽樣分配會服從常態分配
答案與詳解
C
正確答案
母體標準差已知時，利用信賴區間中點求樣本平均，再由誤差範圍反推標準誤與母體標準差，C選項數值計算錯誤。
為什麼答案是 C
母體標準差等於標準誤乘以樣本數的平方根，即 5.36 × √100 = 53.6 mmHg。選項C給出的數值為 43 mmHg，與正確計算值 53.6 mmHg 不符，故敘述錯誤，為本題正解。
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完整詳解
Pro · 無限重點 母體標準差已知時，利用信賴區間中點求樣本平均，再由誤差範圍反推標準誤與母體標準差，C選項數值計算錯誤。
秒殺技巧
區間中點119.5為樣本平均；誤差範圍10.5除以1.96得標準誤5.36；標準誤乘樣本數平方根(√100=10)得母體標準差53.6，非43。逐選項分析
A✕
信賴區間中點即為樣本平均數，計算為(109+130)/2 = 119.5 mmHg，敘述正確。
B✕
誤差範圍為(130-109)/2 = 10.5，標準誤等於誤差範圍除以Z值(1.96)，約為5.36 mmHg，敘述正確。
C✓ 正確
母體標準差等於標準誤乘以樣本數的平方根，即 5.36 × √100 = 53.6 mmHg。選項C給出的數值為 43 mmHg，與正確計算值 53.6 mmHg 不符，故敘述錯誤，為本題正解。
D✕
母體為常態分配時，其樣本平均之抽樣分配亦精確服從常態分配，敘述概念正確。
母體標準差已知之常態母體信賴區間引數計算
| 引數 | 公式 | 本題計算結果 |
|---|---|---|
| 樣本平均數 | (上限 + 下限) / 2 | 119.5 mmHg |
| 誤差範圍 (E) | (上限 - 下限) / 2 | 10.5 mmHg |
| 標準誤 (SE) | E / Z | 10.5 / 1.96 ≈ 5.36 mmHg |
| 母體標準差 | SE × √n | 5.36 × √100 = 53.6 mmHg |
陷阱提醒
考生易將標準誤與母體標準差混淆，或在計算時發生數字錯誤。本題標準誤約為5.36，母體標準差需再乘以樣本數平方根(√100=10)，即53.6。選項C的43為錯誤數值，與正確值53.6差異甚大，屬計算或概念混淆。