國中教甄｜數學數學109 年第 65 題單選題

The radius of the inscribed circle of a regular triangle is 1. There is a small circle of which two tangents to this circle and the two sides of the triangle take place at the same time, as shown in the figure. The radius of the small circle is

A$\frac{1}{3}$正確答案

B$\frac{1}{2}$

C$\frac{\sqrt{3}}{6}$

D$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$

答案與詳解

正確答案

小圓與大圓都在正三角形左下角的角平分線上，外切條件給出 2-2r=1+r，故小圓半徑為 1/3。

A$\frac{1}{3}$✓ 正確

設小圓半徑為 r。左下角為 60 度，與兩邊相切的圓之圓心在角平分線上，且到角頂距離為半徑的 2 倍。大圓距角頂 2，小圓距角頂 2r；兩圓外切時圓心距為 1+r，因此 2-2r=1+r，解得 r=1/3。

B$\frac{1}{2}$✕ 易錯陷阱

1/2 像是直覺認為小圓是大圓的一半，但未依角平分線距離與兩圓外切條件計算，因此不符。

C$\frac{\sqrt{3}}{6}$✕ 易錯陷阱

D$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$✕ 錯誤

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