在 $ riangle ABC$ 中， $\overline{AB}=3$ 、 $\overline{BC}=5$ 且 $\angle ABC=120^{\circ}$ 。若過 $ riangle ABC$ 的內心且…

Question

在 $	riangle ABC$ 中， $\overline{AB}=3$ 、 $\overline{BC}=5$ 且 $\angle ABC=120^{\circ}$ 。若過 $	riangle ABC$ 的內心且與 $\overline{BC}$ 平行的直線分別與 $\overline{AB}$ 、 $\overline{AC}$ 交於點 $P$ 與點 $Q$ ，則 $	riangle APQ$ 的周長為何？
(A) 10
(B) $6+\sqrt{13}$
(C) 12
(D) $3+2\sqrt{13}$

Accepted Answer

正確答案為 A。 利用內心與平行線構造等腰三角形，得出 PQ = PB + QC，進而求得相似比並計算周長。 (A) 由餘弦定理求得 AC=7。設相似比為 k，則 PQ=5k、PB=3-3k、QC=7-7k。利用內心與平行線性質得 PQ=PB+QC，即 5k=(3-3k)+(7-7k)，解得 k=2/3。三角形 APQ 周長為 15k=10。 (B) 此為干擾選項，可能為計算邊長時未正確使用餘弦定理，或誤用其他幾何公式所得之錯誤數值。

在 $△ A B C$ 中， $\overline{A B} = 3$ 、 $\overline{B C} = 5$ 且 $∠ A B C = 12 0^{\circ}$ 。若過 $△ A B C$ 的內心且與 $\overline{B C}$ 平行的直線分別與 $\overline{A B}$ 、 $\overline{A C}$ 交於點 $P$ 與點 $Q$ ，則 $△ A P Q$ 的周長為何？

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在 △ABC 中， AB=3 、 BC=5 且 ∠ABC=120∘ 。若過 △ABC 的內心且與 BC 平行的直線分別與 AB 、 AC 交於點 P 與點 Q ，則 △APQ 的周長為何？

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