坐標平面上，若直線 L 通過點 $(2,2^{a})$ 與 $(4,4^{a})$ ，且與直線 $2x+6y=5$ 垂直，則 a 的值為何？ (A) $\log_{2}3$ (B) $\log_{3}2$ (C) $\log_{2}5$ (D) $\log_{5}2$

國中教甄｜數學數學107 年第 15 題單選題

坐標平面上，若直線 L 通過點 $(2, 2^{a})$ 與 $(4, 4^{a})$ ，且與直線 $2 x + 6 y = 5$ 垂直，則 a 的值為何？

A$\log_{2}3$正確答案

B$\log_{3}2$

C$\log_{2}5$

D$\log_{5}2$

答案與詳解

正確答案

利用兩直線垂直斜率乘積為-1求出直線L的斜率，再代入兩點斜率公式解指數方程式求得a。

逐選項解析

A$\log_{2}3$✓ 正確

直線 2x+6y=5 的斜率為 -1/3，因兩直線垂直，故 L 的斜率為 3。由兩點斜率公式得 (4^a - 2^a)/(4 - 2) = 3，化簡為 (2^a)^2 - 2^a - 6 = 0。令 t = 2^a，解 t^2 - t - 6 = 0 得 t = 3 或 t = -2（不合，因 2^a > 0）。故 2^a = 3，a = log_2(3)。

B$\log_{3}2$✕ 錯誤

此選項為 log_3(2)，屬於將對數底數與真數位置顛倒的常見計算失誤干擾項。

C$\log_{2}5$✕ 錯誤

D$\log_{5}2$✕ 錯誤

登入查看完整解析