鐵路人員考試高員三級-電子工程電子學大意104 年第 9 題單選題
圖中的 LCR 振盪器，當電容 C 值增加 2% 時，其振盪頻率 ω0 改變多少？
D正確答案
LCR 振盪器的諧振頻率與電容的平方根成反比，利用微小變化量公式可快速求得頻率變化率為電容變化率的負二分之一倍。
為什麼答案是 D
由 ω0=LC1 取對數微分可得 ω0dω0=−21CdC。代入電容增加 2%，得頻率改變 −1%。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 LCR 振盪器的諧振頻率與電容的平方根成反比，利用微小變化量公式可快速求得頻率變化率為電容變化率的負二分之一倍。
諧振頻率 $\omega_0 \propto C^{-1/2}$，當變化量很小時，變化率 $\frac{\Delta \omega_0}{\omega_0} \approx -\frac{1}{2} \frac{\Delta C}{C} = -\frac{1}{2} \times 2\% = -1\%$。
逐選項分析
A✕
頻率與電容成反比，電容增加時，振盪頻率應該下降，變化率不會是正值。
B✕
諧振頻率由電感 L 和電容 C 共同決定，當 C 發生改變時，頻率必然會隨之改變。
C✕ 陷阱
根據微小變化量公式，頻率變化率應為電容變化率的 -1/2 倍，即 -1%，而非 -0.5%。可能是計算時乘錯比例。
D✓ 正確
由 $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ 取對數微分可得 $\frac{d\omega_0}{\omega_0} = -\frac{1}{2}\frac{dC}{C}$。代入電容增加 $2\%$，得頻率改變 $-1\%$。
LCR 諧振電路微小變化量關係
| 變數改變情況 | 比例關係式 | 變化率近似公式 |
|---|
| 僅電容 C 改變 | $\omega_0 \propto C^{-1/2}$ | $\frac{\Delta \omega_0}{\omega_0} \approx -\frac{1}{2} \frac{\Delta C}{C}$ |
| 僅電感 L 改變 | $\omega_0 \propto L^{-1/2}$ | $\frac{\Delta \omega_0}{\omega_0} \approx -\frac{1}{2} \frac{\Delta L}{L}$ |
| L 與 C 皆改變 | $\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ | $\frac{\Delta \omega_0}{\omega_0} \approx -\frac{1}{2} (\frac{\Delta L}{L} + \frac{\Delta C}{C})$ |
考生容易忘記頻率與電容是「平方根成反比」的關係。若誤以為成正比會選出正值；若忘記開根號會直接算出 -2%；若將 -1/2 的係數乘錯則可能算出 -0.5%。記住指數 -1/2 是解題關鍵。 
