108 年 · 數學（新北市） 試題與解答

海拉魯平原上有兩座高塔，高度分別為 15,20 公尺。現在分別從每一高塔的頂端向對面高塔的底面射出雷射光線，兩光線在空中交於一點…

坐標平面上，直線 $ax + by + c = 0$ 不通過第二象限，其中 $a, b, c$ 皆為非零常數。則直線 $bx -…

已知某年的四月有三個星期日的日期是偶數。請問該年的四月4日是星期幾呢？

坐標平面上，兩坐標均為整數的點稱為「格子點」。請問有多少個格子點與原點(0,0)的距離為 $\sqrt{65}$ ？

公園裡圍了一塊三角形的空地，其邊長分別是7公尺20公分、8公尺40公分、10公尺80公分。今公園管理處要在此塊空地周圍擺盆栽，使…

下面哪一個多項式不能分解成兩個（至少一次的）實係數多項式的乘積？

已知二次函數 $y = ax^{2} + bx + c$ 的圖形與 x 軸交於 $(-1,0)$ ， $(6,0)$ 兩點，而二…

已知直線 $L: 2x + 3y = 0$ ，將 $L$ 向右平移 2 單位得到直線 $L_1$ ，求 $L_1$ 的方程式。

若聯立方程組 $\left\{\begin{aligned}x+ay+z&=a\\ x+y+az&=a\end{aligned}…

滿足 $1 \leq x \leq y < z \leq w \leq 10$ 的正整数 $(x, y, z, w)$ 共有幾組…

已知等腰三角形 $ABC$ 的腰長為 $\overline{AB} = \overline{AC} = 13$ ，底邊為 $\o…

碳-60 分子是一個非常穩定的化學結構，可以用一個有 60 個頂點的凸多面體來呈現：每一個頂點與另外三個頂點相連，而且每一個頂點…

設 a, b, c 為實數。若 $\frac{1}{x^{3}-1} = \frac{a}{x-1} + \frac{bx+c}…

設 $\alpha, \beta$ 為二次方程式 $x^{2} + 6x + 3 = 0$ 的兩根。請問：以 $\frac{1}…

考慮平面上的直線 $L: x - 3y = 5$ ，以及平面上任一點到這條直線的投影點。請問：所有投影點為 $(-1, -2)$…

臺灣本島的面積約為 35,873.196 平方公里。現在小銘想要繪製比例尺 1:100 的臺灣本島地圖，那麼她大概需要多少張 A…

某個三角形的三條中線長度分別為 4.6.8。則此三角形的面積等於多少？

已知絕對值不等式 $|ax+1|\leq b$ 的解區間為 $-3\leq x\leq5$ ，請問 $a+b$ 之值為多少？

平平參加丟銅板比賽，持續丟擲一枚均勻銅板，直到出現正面時才停止。若正面出現在第 k 次丟擲，則可得分數 k 分。則平平所得分數的…

考慮三次函數 $f(x)=x^{3}+2x^{2}-4x+2$ 。請問下列哪一個數最接近 $f(0.9999)$ ？

阿倫練習尺規作圖。他先在紙上畫了一個銳角 $A$ ，並依下列步驟操作： （1）以 $A$ 為圓心，適當長度為半徑作圓 $\Ome…

設 $\theta$ 為第二象限角，且 $\cos \theta = -\frac{4}{5}$ 。則 $\tan \frac{…

下列哪一個數的正因數總和為偶數？

空間中四點 $A(1,2,-1), B(2,-1,2), C(3,2,1), D(-1,-a-1,a)$ 共平面，試求 $a$ …

試求 $36^{\frac{1-\sqrt{2}}{\sqrt{2}}} \times 6^{-\sqrt{2}}$ 之值。

已知二次函数 $f(x) = -x^{2} + 2x + 6$ ，試求此函數 $f(x)$ 在 $2 \leq x \leq 3…

已知 $\Delta ABC$ 的三頂點坐標為 $A(1,1), B(4,0), C(3,1)$ ，試求 $\Delta ABC…

已知圓 $C: x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0$ 與直線 $L: 4x + 3y + 7 = 0…

設 $\langle a_n \rangle$ 為等比數列，且滿足 $a_1 + a_2 + a_3 = 21$ ， $a_2 …

試求級數 $1 \times 5 + 2 \times 9 + 3 \times 13 + \cdots + 14 \times…

設坐標平面上三點 $A(1,2), B(4,6), C(3,3)$ ，試求 $\overrightarrow{AB}$ 在 $\…

若袋中有 300 個紅球，200 個藍球，每次從袋中抽取一球，抽球後放回，抽球兩次。設 X 代表兩次中抽到紅球的次數，試求 $P…

某工廠生產燈泡，其品檢部門在檢驗燈泡品質時是從每一盒（每盒 12 個）中任取 4 個來檢查，如果有 2 個或 2 個以上是不合格…

設 $x \neq 0$ ，試求 $\lim_{x \to 0} \left(x \sin \frac{1}{x}\right)…

設三角形三邊長為 $a, b, c$ ，其對角為 $2\theta, 3\theta, 4\theta$ ，試求 $\sec \…

設 $x \neq \frac{\pi}{2}$ ，試求 $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}}[(\pi - …

已知 $\log a = 1.02$ ，求 $0.01^{0.01}$ 之值（以 $a$ 表示）。

試求 $\sum_{k=1}^{9} \frac{2k+1}{k^2(k+1)^2}$ 之值。

試求方程式 $\frac{x^2 - 4x}{x^2 - 4} + 2 = \frac{1}{2 - x}$ 的根的個數。

空間中兩歪斜線 $L_{1}:\frac{x+2}{1}=\frac{y-3}{2}=\frac{z+3}{-2}$ 與 $L_…