大地工程技師高等考試-大地工程技師考試分階段考試(第一階段考試)材料力學115 年第 33 題單選題

一完全水平的靜定梁 AB，全長為 L，A 端為鉸支承、B 端為滾支承。假設梁的撓曲剛度為 EI，當梁全跨承受分布載重 q(x) = q₀ sin(πx/L) 垂直向下作用在梁上時，梁中點向下的位移量為何？

AqL⁴ / (24π⁴EI)

BqL⁴ / (16π⁴EI)

CqL⁴ / (8π⁴EI)

DqL⁴ / (π⁴EI)正確答案

答案與詳解

正確答案

取向下撓度為正，簡支梁的撓曲方程為 EI v''''(x)=q₀sin(πx/L)。因 sin(πx/L) 在兩端為零，其四次積分所得特解已滿足簡支端的位移與彎矩邊界條件；故中點向下位移為 q₀L⁴/(π⁴EI)，選 D。

逐選項解析

AqL⁴ / (24π⁴EI)✕ 易錯陷阱

A 為 qL⁴/(24π⁴EI)。它保留了正確的 π⁴EI 與 L⁴量綱結構，但相較正確值 q₀L⁴/(π⁴EI)，額外除以 24，使位移只有正確值的 1/24。正弦函式每次積分會帶出 1/k，而非如多項式逐次積分般自然產生 1/4!；因此不應出現 24 這個額外係數。此處 q 應對應 q₀。

BqL⁴ / (16π⁴EI)✕ 易錯陷阱

B 為 qL⁴/(16π⁴EI)。它同樣含有正確的 π⁴，但額外除以 16，故僅為正確中點位移的 1/16。16 常源於將中點位置 x=L/2 代入時，錯把載重振幅或整體撓度尺度也乘上 (1/2)⁴；實際上中點代入的是 sin(πx/L)=sin(π/2)=1，不會產生 L⁴/16。此處 q 應對應 q₀。

CqL⁴ / (8π⁴EI)✕ 易錯陷阱

DqL⁴ / (π⁴EI)✓ 正確

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