下面哪一個極限值不存在？
A$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$
B$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\sin x$
C$\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$
D$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cos x$正確答案
答案與詳解
逐選項解析
A$\lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}$✕ 錯誤
利用夾擠定理，因正弦函數值域介於-1與1之間，可得負的x絕對值小於等於該式小於等於x的絕對值。當x趨近0時兩側皆趨近0，故極限值為0，極限存在。
B$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\sin x$✕ 錯誤
此式可改寫為sin x除以x，屬於三角函數的重要極限，當x趨近0時極限值為1，極限存在。
C$\lim_{x\to0}x\cos\frac{1}{x}$✕ 錯誤
D$\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\cos x$✓ 正確
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