教檢-國民小學數學能力測驗109 年第 4 題單選題
已知 f(x) 為一次函數，且 f(4)−f(2)=10，問 f(8)−f(3) 之值為何？
C正確答案
一次函數的函數值變化量與自變數變化量成正比，先利用已知條件求出「斜率」，再推算所求區間的變化量即可。
為什麼答案是 C
正確！設 f(x)=ax+b，f(4)-f(2) = 2a = 10，解得斜率 a=5。所求 f(8)-f(3) = 5a = 5×5 = 25。
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完整詳解
Pro · 無限重點 一次函數的函數值變化量與自變數變化量成正比，先利用已知條件求出「斜率」，再推算所求區間的變化量即可。
一次函數 f(x)=ax+b，斜率 a = (10) / (4-2) = 5。所求 f(8)-f(3) 的 x 變化量為 5，故答案為 5 × 5 = 25。
逐選項分析
A✕ 陷阱
誤以為一次函數在任何區間的「差值」都固定不變，直接照抄題目的 10，忽略了區間長度不同。
B✕
計算錯誤或比例抓錯，可能誤將 x 的變化量算錯，或是斜率計算失誤導致得出 20。
C✓ 正確
正確！設 f(x)=ax+b，f(4)-f(2) = 2a = 10，解得斜率 a=5。所求 f(8)-f(3) = 5a = 5×5 = 25。
D✕
可能誤將斜率 a=5 與題目原本的差值 10 相乘 (10×5=50)，屬於邏輯推導過程中的算式錯置。
一次函數 f(x) = ax + b 核心特性
| 概念 | 代數意義 | 幾何意義 | 變化量關係 |
|---|
| 斜率 (a) | a = [f(x₂)-f(x₁)] / (x₂-x₁) | 直線的傾斜程度 | x 每增加 1，y 增加 a |
| 常數項 (b) | f(0) = b | 直線與 y 軸的交點 (0, b) | 起始基準值 |
| 區間差值 | f(x+Δx) - f(x) = a·Δx | 兩點間的垂直高度差 | 與 Δx 成正比 |
一次函數的核心特徵就是「等距等變」：自變數每增加相同單位,函數值就增加固定倍數。關鍵在於先從已知兩點算出斜率 a,再用「變化量 = 斜率 × 區間長度」推算。最常見的錯誤是忽略區間長度不同,直接套用已知的變化量,或誤以為函數值差恆定。判斷準則:先確認斜率,再乘上新區間的 x 跨度,千萬別把不同寬度的區間當成同一回事。 
