教檢-國民小學數學能力測驗109 年第 13 題單選題
有六個半徑為 4 的圓弧，分別相切於點 A、B、C、D、E、F，且此六點為大圓上的六個等分點，如花朵形狀。試求大圓半徑是多少？
A正確答案
六段半徑4的圓弧在大圓上六等分點兩兩相切,由幾何關係可得大圓半徑為 43。
為什麼答案是 A
正確:相鄰等分點弦長 = R,而由小圓弧相切於 A、B 推出此弦長 = 43,故 R=43。
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 六段半徑4的圓弧在大圓上六等分點兩兩相切,由幾何關係可得大圓半徑為 $4\sqrt{3}$。
1. 大圓上六等分點 A~F,相鄰兩點所對弦長等於大圓半徑 R。
2. 每段小圓弧的圓心位於大圓內,且該小圓需同時通過相鄰兩個等分點(在該兩點與小圓相切代表小圓過此兩點)。
3. 小圓半徑為4,故相鄰兩等分點距離 = ? 由小圓圓心到兩切點皆為4,且兩切線(即大圓在A、B的切線)夾角為120°,故兩切點距離為 $2\cdot4\cdot\sin60°=4\sqrt{3}$。
4. 而大圓上相鄰六等分點弦長等於 R,故 $R=4\sqrt{3}$。
逐選項分析
A✓ 正確
正確:相鄰等分點弦長 = R,而由小圓弧相切於 A、B 推出此弦長 = $4\sqrt{3}$,故 $R=4\sqrt{3}$。
B✕
錯誤:6 為誤算,可能誤把弦長當作 $2r\sin45°$ 之類錯誤角度。
D✕
錯誤:此為 $4\sqrt{3}$ 的一半,可能漏乘 2 倍正弦。
勿將「相切」誤解為小圓只在一點切大圓;此處每段弧連接相鄰兩等分點並與大圓相切於該兩點。 
