國營聯招統計資訊統計學、巨量資料概論105 年第 3 題單選題考點：t與F關係考點：分配轉換

下列敘述何者正確？ I: 若 $X \sim N (μ, σ^{2})$ ，令 Y = X - μ，則 $Y \sim N (0, σ^{2})$ II: 若 $X \sim t (n)$ (自由度為 n 的 t 分配)，則 $X^{2} \sim F (n, 1)$ III: 若 $Z \sim N (0, 1)$ ，則 $Z^{2} \sim χ^{2} (1)$ (自由度為1的chi-square分配)

AI和II

BI和III正確答案

CII和III

DIII

答案與詳解

正確答案

常態分配平移僅改變平均數；標準常態平方為卡方(1)；t分配平方應為F(1,n)而非F(n,1)。

AI和IIt與F關係✕ 易錯陷阱

包含敘述 II，故錯誤。t 分配的平方確實服從 F 分配，但自由度順序應為分子 1、分母 n，即 F(1,n)。選項寫成 F(n,1) 是考選部最愛考的「自由度顛倒」陷阱。

BI和III分配轉換✓ 正確

I 正確：Y=X-μ 僅將平均數歸零，變異數 σ² 不變。III 正確：標準常態變數的平方即為自由度 1 的卡方分配定義。兩者皆為統計學基本定理，組合正確。

CII和III✕ 易錯陷阱

DIII✕ 錯誤

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精選詳解

下列敘述何者正確？ I: 若 X∼N(μ,σ2) ，令 Y = X - μ，則 Y∼N(0,σ2) II: 若 X∼t(n) (自由度為 n 的 t 分配)，則 X2∼F(n,1) III: 若 Z∼N(0,1) ，則 Z2∼χ2(1) (自由度為1的chi-square分配)