國中教甄｜數學數學102 年第 34 題單選題

$F_{n} = F_{n - 1} + F_{n - 2}, F_{0} = F_{1} = 1$ ，求 $F_{100} \times F_{103} - F_{101} \times F_{102}$ 爲何？

B1正確答案

C$-1$

D$F_{99}\times F_{98}$

答案與詳解

正確答案

利用費波那契數列的遞迴性質化簡算式，並套用卡西尼恆等式求得結果為 1。

A0✕ 錯誤

計算結果不為 0，費波那契數列相鄰項的此類組合不會等於 0。

B1✓ 正確

透過遞迴關係化簡原式為

F_{100} F_{102} - F_{101}^{2}

，由卡西尼恆等式知此式等於

(- 1)^{100} = 1

。

C$-1$✕ 易錯陷阱

若項次

n

為奇數時結果為

- 1

，但本題

n = 100

為偶數，故不為

- 1

。

D$F_{99}\times F_{98}$✕ 錯誤

化簡過程與結果均不會產生

F_{99} \times F_{98}

此形式，純屬干擾選項。

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精選詳解

Fn​=Fn−1​+Fn−2​,F0​=F1​=1 ，求 F100​×F103​−F101​×F102​ 爲何？