109 年 · 數學（新北市）

考慮黃金分割比 $\rho=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ 。定義等比數列 $a_{n}=\frac{\rho^{n…

一拋物線有兩點 A、B，且線段 $\overline{AB}$ 通過該拋物線的焦點 F。若 $\overline{AF}=12$…

四支足球隊進行單循環賽，每兩支隊伍皆對戰一場。每場比賽的勝隊得積分 3 分、敗隊得 0 分，平手則各得 1 分。 由於四隊實力相…

若 $\sin \theta + \cos \theta = \frac{1}{\sqrt{3}}$ ，則 $\sin^4 \t…

在 $1^{2} 、 2^{2} 、 \ldots 、 100^{2}$ 這 100 個平方數中, 有幾個數除以 7 的餘數會等…

黃老師騎機車到火車站接甲、乙兩位客人來學校參觀。車站到學校的距離是6公里，機車的時速為45公里，而甲、乙兩人步行的時速都是5公里…

設 $a, b$ 是兩個正實數，且知 $\log_{10} a = 7.2$ 、 $\log_{10} b = 3.6$ 。請問…

已知 $1105 = 5 \times 13 \times 17$ 。將 1105 寫成兩個正整數的平方和，共有幾種不同的方法？…

下列關於空間中的直線與平面的敘述，請問哪一個是正確的？

設二次方程式 $x^{2} - 2x - 6 = 0$ 的兩根為 $\alpha, \beta$ ，則下列哪一個方程式的兩根是 …

方程式 $13x + 23y = 1$ 的整数解 $(x, y)$ 中， $|x| + |y|$ 的最小可能值为多少？

同時出現在兩等差數列 1000,997,994,...,-50 以及 -75,-68,-61,...,800 的整數有多少個?

設 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5$ 為五個非負實數，且總和為 1。請問 $a_1^2 + 2a_2^2 + …

數列 $a_1, a_2, a_3, \ldots$ 依下述定義給出： $a_{n+2} = \frac{1 + a_{n+1}…

方程式 $x + \sqrt{x^{2} + \sqrt{x^{3} + 1}} = 1$ 的實數解有多少個？

若 n 為正整數，且 $n^{4}-38n^{2}+169$ 為質數，則 n=?

數列 3,6,11,18,27,38,...依此規律，求第 100 項的值=?

設二次函數 $y=6x-1-3x^{2}$ 的最大值為 a， $y=(x+2)^{2}-3$ 的最小值為 b，則 $a+b=$ …

已知坐標平面上兩直線 $2x + y = 2$ 與 $x + my = 1$ 互相垂直。則點 $(m, m)$ 到直線 $x +…

$\triangle ABC$ 中， $D$ 為 $BC$ 中點， $\overline{BC} = 2020$ ， $\ove…

以△ABC的三中線為邊所成的三角形，其面積是△ABC面積的幾倍？

已知銳角三角形△ABC三邊長互不相等，D 是 $\overline{BC}$ 上一點，滿足 $\angle BAD + \ang…

已知 $x$ 是整數，且 $x^{2} + x - 2$ 也是整數的平方。則這樣的 $x$ 有多少個？

$\triangle ABC$ 中，三邊長為 3、4、6，所對應的三條高長度分別為 $p$ 、 $q$ 、 $r$ 。則將 $(…

已知 $k$ 為正整數。若直線 $y = -2x + k$ 與兩坐標軸圍成的三角形，其內部與邊界上的格子點（格子點為兩坐標皆為整…

某立體由一些單位方塊堆砌而成。若此立體的前視、左視、上視圖如下： 則此立體的體積為？

一行星繞其太陽的軌道是一個橢圓，且太陽為一焦點。橢圓長軸的兩端點中，距離太陽近的稱為近日點，遠的稱為遠日點。已知近日點與遠日點與…

數列 $a_{n}$ 定義為 $a_{1} = 1, a_{2} = 3$ ，且 $n \geq 3$ 時， $a_{n} = …

有一橢圓，其兩焦點為 A 與 B，而 P 為橢圓上的點。已知△ABP 為直角三角形，且 $\overline{AB}=8,\qu…

凸 10 邊形，把每條對角線都連上，最多可以把此 10 邊形內部分為幾塊區域？

請問 2020! 乘開後，末尾有幾個0？

樂透彩中的四星彩組彩，玩法是選一個4位數(即從0000到9999中選一數，首位可為0)，但不看數字的順序，只要4個數字相同即為中…

某圓內接六邊形 $ABCDEF$ ，其中 $\overline{AB} = \overline{BC} = \overline{…

政府為了振興經濟，發行了三倍券，民眾可以用一千元換得三倍價值實體券，也就是三千元。除了領實體券，三倍券還可以用綁定信用卡的方式來…

汽水一瓶 15 元，為了響應環保，回收 4 個空瓶可以換一瓶新的汽水，請問打算共喝 77 瓶汽水的話，「最少」須準備多少錢即可？

下列何者錯誤？

極限 $\lim_{x\to 0}(x - \frac{1}{x})\sin x$ 的值為何？

請問 $\int_{-2}^{2} \frac{1}{x} dx$ 的值為何？

空間中三點 $A(2,0,4)、B(4,1,-1)$ 與 $C(6,7,7)$ ，請問此三點構成什麼圖形？

旅遊大亨是一款類似大富翁的手遊，每次會擲兩顆骰子，依總點數前進。假設每顆骰子擲到每一個面的機率相同，而且兩顆骰子擲到什麼點數是彼…