母體平均數為 μ、變異數為 σ²，假設 X₁,…, Xₙ 為抽自該母體的隨機樣本，令 X̄ = Σⁿᵢ₌₁ Xᵢ/n、σ̂² = Σⁿᵢ₌₁(Xᵢ - X̄)²/n、s² = Σⁿᵢ₌₁(Xᵢ - X̄)²/(n-1)，下列敘述何者正確？

正確答案為 C。$\bar{X}$ 的期望值為 $\mu$，為不偏估計量；在常態母體假設下，$\hat{\sigma}^2$ 為 $\sigma^2$ 的最大概似估計量，敘述完全正確。

初考-統計統計學大意106 年第 18 題單選題

母體平均數為 $μ$ 、變異數為 $σ^{2}$ ，假設 $X_{1}, \dots, X_{n}$ 為抽自該母體的隨機樣本，令 $\overset{ˉ}{X} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} / n$ 、 $\overset{σ}{^}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} / n$ 、 $s^{2} = \sum_{i = 1}^{n} (X_{i} - \overset{ˉ}{X})^{2} / (n - 1)$ ，下列敘述何者正確？

\overset{ˉ}{X}

、

\overset{σ}{^}^{2}

分別是

μ

、

σ^{2}

的不偏估計量

\overset{ˉ}{X}

、

s^{2}

分別是

μ

、

σ^{2}

的最大概似估計量（Maximum Likelihood Estimator）

\overset{ˉ}{X}

是

μ

的不偏估計量、

\overset{σ}{^}^{2}

是

σ^{2}

的最大概似估計量正確答案

\overset{ˉ}{X}

是

μ

的最大概似估計量、

\overset{σ}{^}^{2}

是

σ^{2}

的不偏估計量

答案與詳解

正確答案

樣本平均數為母體平均數的不偏估計量，而除以 n 的樣本變異數為母體變異數的最大概似估計量。

$\overset{ˉ}{X}$ 的期望值為 $μ$ ，為不偏估計量；在常態母體假設下， $\overset{σ}{^}^{2}$ 為 $σ^{2}$ 的最大概似估計量，敘述完全正確。

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