假設每次測量正方形邊長分別為 X₁, X₂,…, Xₙ(假設每次測量均為獨立),令 X̄ = ΣXᵢ/n,試問下列那一個面積的估計值偏誤最小?
AX₁²
B∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ²
CX̄²
D∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ²/n²正確答案
答案與詳解
E(ΣXᵢ²/n²)=n(μ²+σ²)/n²=(μ²+σ²)/n=μ²/n+σ²/n。偏誤=(μ²+σ²)/n−μ²=σ²/n−μ²(n−1)/n。注意此偏誤通常為負(因 μ² 一般遠大於 σ²/(n−1)),且絕對值未必小於 C 的 σ²/n;但官方答案以 D 為正解,推測命題者著眼於『分母 n² 使整體尺度被縮小、期望值最小』的觀點。實務上若 μ=0 或 μ² 很小,D 的偏誤的確可能最小。
