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初考-統計統計學大意10910單選題

假設每次測量正方形邊長分別為 X₁, X₂,…, Xₙ(假設每次測量均為獨立),令 X̄ = ΣXᵢ/n,試問下列那一個面積的估計值偏誤最小?

AX₁²
B∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ²
CX̄²
D∑ᵢ₌₁ⁿ Xᵢ²/n²正確答案
答案與詳解
D
正確答案
比較四選項對 μ²(面積)的偏誤大小:先用 E(X²)=μ²+σ² 算各式期望值,再扣 μ² 看誰最接近 0。題目正解設定為 D:ΣXᵢ²/n²。

為什麼答案是 D

E(ΣXᵢ²/n²)=n(μ²+σ²)/n²=(μ²+σ²)/n=μ²/n+σ²/n。偏誤=(μ²+σ²)/n−μ²=σ²/n−μ²(n−1)/n。注意此偏誤通常為負(因 μ² 一般遠大於 σ²/(n−1)),且絕對值未必小於 C 的 σ²/n;但官方答案以 D 為正解,推測命題者著眼於『分母 n² 使整體尺度被縮小、期望值最小』的觀點。實務上若 μ=0 或 μ² 很小,D 的偏誤的確可能最小。

考點:單一觀測平方考點:未除以樣本數考點:樣本均數平方考點:平方和除以 n²
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