高考-公共衛生師生物統計學113 年第 5 題單選題
骨關節炎（OA）患者的肌肉功能以10分制來評估平衡協調性。隨機抽出16名OA患者，其平均分數2.5、標準差3.0。請計算16名OA患者平均分數的95%信賴區間之寬度？（註：Z0.05=1.645、Z0.025=1.960、t16,0.05=1.746、t16,0.025=2.120、t15,0.05=1.753、t15,0.025=2.131）
A2.630
B2.940
C3.180
D3.197正確答案
D正確答案
n=16小樣本用t分布,df=15,雙尾95% CI寬度 = 2 × 2.131 × 3/√16 ≈ 3.197
為什麼答案是 D
正確:2×t15,0.025×s/n=2×2.131×3/4=3.197
載入中…
完整詳解
Pro · 無限重點 n=16小樣本用t分布,df=15,雙尾95% CI寬度 = 2 × 2.131 × 3/√16 ≈ 3.197
1. 樣本數n=16,小樣本且σ未知,使用t分布
2. 自由度df = n−1 = 15
3. 95%信賴區間用雙尾,取 $t_{15,0.025}=2.131$
4. 標準誤 SE = s/√n = 3/√16 = 3/4 = 0.75
5. CI寬度 = 2 × t × SE = 2 × 2.131 × 0.75 = 3.1965 ≈ 3.197
逐選項分析
A✕
誤用 $2 × 1.753 × 0.75 = 2.630$,使用單尾t值(t_{15,0.05})錯誤
B✕
誤用 $2 × 1.960 × 0.75 = 2.940$,使用Z分布,但小樣本應用t分布
C✕
誤用 $2 × 2.120 × 0.75 = 3.180$,自由度錯用16(應為n−1=15)
D✓ 正確
正確:$2 × t_{15,0.025} × s/\sqrt{n} = 2 × 2.131 × 3/4 = 3.197$
知識整理
| 重點 |
|---|
| 信賴區間公式: |
| • 大樣本(n≥30)或σ已知 → 用 Z |
| • 小樣本(n<30)且σ未知 → 用 t,自由度 df = n−1 |
| • 95% CI雙尾 → 取 α/2 = 0.025 |
| • CI = $\bar{x} ± t_{df,α/2} × s/\sqrt{n}$ |
| • CI寬度 = $2 × t_{df,α/2} × s/\sqrt{n}$ |
| • 本題:n=16, df=15, t=2.131, SE=0.75 |
注意三點:(1)小樣本用t不用Z;(2)自由度為n−1=15非16;(3)雙尾95%取0.025非0.05 
