國小教甄｜普通科數學108 年第 16 題單選題

橢圓 $\frac{x ^{2}}{4} + \frac{y ^{2}}{9} = 1$ 上之動點到直線 2x-y+10=0 之最大距離為？

A$\sqrt{5}$

B$2\sqrt{5}$

C$3\sqrt{5}$正確答案

D$4\sqrt{5}$

答案與詳解

正確答案

利用橢圓參數式將距離表示為三角函數，並求其最大值。

A$\sqrt{5}$✕ 易錯陷阱

將

4 cos θ - 3 sin θ

取最小值 -5 時，距離為

\frac{∣ - 5 + 10∣}{5} = 5

，此為最小距離而非最大距離。

B$2\sqrt{5}$✕ 錯誤

計算過程錯誤，可能誤將係數或分母算錯而得此數值。

C$3\sqrt{5}$✓ 正確

將

4 cos θ - 3 sin θ

取最大值 5 時，距離為

\frac{∣5 + 10∣}{5} = \frac{15}{5} = 35

，為最大距離，符合題意。

D$4\sqrt{5}$✕ 錯誤

計算過程錯誤，可能誤將分子最大值算為 20 等其他數值而得此結果。

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精選詳解

橢圓 4x2​+9y2​=1 上之動點到直線 2x-y+10=0 之最大距離為？