103 年 · 數學（基隆市）

某個按鈕，第一次按下可能亮紅燈或綠燈，兩者出現的機率都相等；前一次若出現紅燈，則再按下按鈕後出現紅燈的機率為 $\frac{1}…

設 $f(x) = \frac{1}{1 + a \cdot 2^{bx}}$ 是一個定義在實數上的函數，其中 $a, b$ 為…

設 L 是過拋物線 $y^{2}=8(x+2)$ 焦點 F，且其斜角為 $60^{\circ}$ 的直線。若直線 L 與拋物線交…

設 $a 、 b 、 c$ 為實數，若 $\frac{a}{b + c} = \frac{b}{c + a} = \frac{c…

設 $a 、 b 、 c$ 為實數， $f:[-1,1] \to R$ 定義為 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 。…

已知 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 、 $d$ 為正整數滿足 $\log_a b = \frac{3}{2}$ ， $\log…

設 $A = \{x \in R: x^2 - 4x + 3 \leq 0\}$ , $B = \{x \in R: 2^{1 …

設數列 $\{a_{n}\}$ 是將集合 $\{2^{s}+2^{t}:0\leq s<t,$ s,t爲整數 $\}$ 中的數由…

設 $\Gamma_{1}: y = x^{2} + 2x$ ， $\Gamma_{2}: y = -x^{2} + a$ 為兩…

設 $F_{1} 、 F_{2}$ 為橢圓 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的兩…

已知 $\Delta ABC$ 中 $\overline{AB} = \overline{AC} = 5$ ， $\overli…

設數列 $\{a_{n}\}$ 滿足對所有的正整數 $n \geq 3$ ， $a_{n} = a_{n-1} - a_{n-2…

若整數 x、y、z 滿足方程式 $x^{3} + y^{3} + z^{3} = x + y + z = 3$ ，則 $\lef…

設 $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+c$ ，其中 a、b、c 為整數。若 $f(0)$ 與 $f(-1)$ 都是奇數…

考慮所有可能的正整數 $a$ ，其滿足 $2x + a = y$ 、 $a + y = x$ 、 $x + y = z$ ，試問…

若 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 是方程式 $x^3 - 6x^2 + 5x = 1$ 的三個根，則 $a^5 + b^5 +…

將分數 $\frac{19}{95}$ 分子的個位數與分母的十位數相同的數字「9」劃掉，分子留下 1，分母留下 5，形成一個新的…

設 $f(x) = \frac{x^2 + a}{bx - c}$ ，其中 $a$ 為整數， $b \setminus c$ 為…

設 a 為正整數，若 $\sqrt{a-10} + \sqrt{a+17}$ 也是正整數，則所有可能的 a 之和為多少？

極限 $\lim_{(x,y)\to(2,1)}\frac{x-y-1}{\sqrt{x-y}-1}=$ ?

若正整數 $n \geq 2014$ 且除以9的餘數為4，則 $8n + 9$ 除以12的餘數為何？

若正整數 n 滿足 4n 除以 10 的餘數與 6n 除以 12 的餘數都等於 6，則滿足條件的所有三位數正整數 n 之總和為何…

抛物線 $y = x^{2} + 2x + 2$ 的圖形與下列哪一個函數的圖形有交點？

從 $A = \{x^{2} + x + 1, x^{3} + 5x - 1, x^{4} + 6x^{2} + 2\}$ 與 …

設某等腰梯形有一內切圓，若梯形的一腰長為 a 而內切圓直徑為 b ，則等腰梯形與內切圓 的面積比為何？

在 ΔABC 中，知道下列哪一個選項仍不一定能確定 ΔABC 的面積？

關於 $x = \frac{\sum_{k=0}^{10} C_{k}^{10} (\sqrt{3}+1)^{k} (\sqrt…

在 C041 , C141 , C241 , C341 , 41 , C41 這 42 個組合數中，有多少個數是 205 的倍數…

已知雙曲線 x 2 - y 2 - 12 x + 17 = 0 的圖形上恰有四個點的 ( x, y ) 坐標均為整數，則以此四點…

關於 x = 4 68 - 48 2 的大小，下列何者是正確的？

單位圓的所有外切直角三角形中，面積最小值為何？

若函數 $f(x,y,z)=\sqrt{xy}+\sqrt{z}$ 在區域 $R=\{(x,y,z):x>0,y>0,z>0,x…

關於函數 $f(x)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(5k-1)x^k}{3^k}$，下列哪一個數學式成立？

函數 2 2 2 2 7 12 1 8 8 t t f t t = - + - + - ( ) ( ) ( ) 的最小值為何？

坐標平面上將點 $(a,b)$ 移到 $(\frac{b^2-a}{a+b+1},\frac{a^2-b}{a+b+1})$ 的…

若 k 表示正整數 k 的最大奇因數，則 =  = k k k 200 1 ？

若 $\Delta ABC$ 中，$\angle C=30^{\circ}$，則其內切圓半徑 $r$ 與外接圓半徑 $R$ 的比…

從一長方體的八個頂點中，任取三點可以構成直角三角形的三頂點之機率為何？

滿足 1 ≤ a ≤ b < c < d ≤ e ≤ 10 的整數數列 (a, b, c, d, e) 共有多少種？

已知 $f ( n ) = \left( 5 + { \sqrt { 2 6 } } \right) ^ { n } + \le…