國中教甄｜數學數學103 年第 23 題單選題

抛物線 $y = x^{2} + 2 x + 2$ 的圖形與下列哪一個函數的圖形有交點？

A$y = \log(x + 1)$

B$y = -3^{x}$

C$y = 3x - 1$

D$y = x^{5} - 5$正確答案

答案與詳解

正確答案

利用抛物線的最小值與各選項函數的值域或方程式解的存在性（如勘根定理）來判斷交點。

A$y = \log(x + 1)$✕ 錯誤

令 $t=x+1>0$，抛物線化為 $y=t^2+1$。因 $t^2+1 > \log t$ 對所有 $t>0$ 恆成立（二次函數增長速率遠大於對數函數，且極小值仍大於0），故兩圖形無交點。

B$y = -3^{x}$✕ 錯誤

指數函數 $3^x > 0$，故 $y=-3^x < 0$。而抛物線 $y=(x+1)^2+1 \ge 1$，兩者值域無交集，故無交點。

C$y = 3x - 1$✕ 錯誤

D$y = x^{5} - 5$✓ 正確

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抛物線 y=x2+2x+2 的圖形與下列哪一個函數的圖形有交點？