國中教甄｜數學數學103 年第 24 題單選題

從 $A = {x^{2} + x + 1, x^{3} + 5 x - 1, x^{4} + 6 x^{2} + 2}$ 與 $B = {x^{2} - 2, x^{2} + x - 1, x^{3} + 2 x}$ 兩組多項式中，各取出一多項式相乘得到它們的乘積，若多項式 $f (x)$ 表示所有這樣的乘積之和，則 $f (x)$ 除以 $x - 1$ 的餘式為何？

A51正確答案

B15

C-51

D-15

答案與詳解

正確答案

利用分配律將所有乘積之和轉化為兩集合多項式總和的乘積，再代入 x=1 求得餘式。

A51✓ 正確

f(1) = (3+5+9) × (-1+1+3) = 17 × 3 = 51，計算完全正確。

B15✕ 錯誤

可能是計算 A 集合總和時發生錯誤，例如將 17 誤算為 5，導致 5 × 3 = 15。

C-51✕ 錯誤

D-15✕ 錯誤

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精選詳解

從 A={x2+x+1,x3+5x−1,x4+6x2+2} 與 B={x2−2,x2+x−1,x3+2x} 兩組多項式中，各取出一多項式相乘得到它們的乘積，若多項式 f(x) 表示所有這樣的乘積之和，則 f(x) 除以 x−1 的餘式為何？