設 $x^{2} + 2$ 為 $x^{4} + 2x^{3} + \alpha x^{2} + \beta x + 2$ 之因式，則 $\alpha +\beta$ 是多少？

正確答案為 C。利用多項式除法或代入 $x^2 = -2$ 使餘式為零，可解得 $\alpha = 3$、$\beta = 4$，故 $\alpha + \beta = 7$。

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國中教甄｜數學數學104 年第 54 題單選題

設 $x^{2} + 2$ 為 $x^{4} + 2 x^{3} + α x^{2} + β x + 2$ 之因式，則 $α + β$ 是多少？

C7正確答案

答案與詳解

正確答案

利用多項式除法或代入

x^{2} = - 2

使餘式為零，可解得

α = 3

、

β = 4

，故

α + β = 7

。

為什麼答案是 C

將 $x^{2} = - 2$ 代入原式，得 $(- 2)^{2} + 2 x (- 2) + α (- 2) + β x + 2 = 0$ ，整理得 $(β - 4) x + (6 - 2 α) = 0$ 。因為此式對任意 $x$ 皆成立，故 $β - 4 = 0$ 且 $6 - 2 α = 0$ ，解得 $β = 4$ 、 $α = 3$ ，因此 $α + β = 7$ 。