設 $a 、 b 、 c$ 為實數， $f:[-1,1] o R$ 定義為 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 。已知當 $x \in [-1,1]$ 時，函數 $f(x)$ 滿足 $\left| f(x)…

Question

設 $a 、 b 、 c$ 為實數， $f:[-1,1] 	o R$ 定義為 $f(x) = ax^2 + bx + c$ 。已知當 $x \in [-1,1]$ 時，函數 $f(x)$ 滿足 $\left| f(x) ight| \leq 1$ 。若 $g:[-1,1] 	o R$ 定義為 $g(x) = cx^2 + bx + a$ ，則在 $x \in [-1,1]$ 時， $g(x)$ 之值是落在下列哪一個區間？
(A) $[-2,1]$
(B) $[-1,1]$
(C) $[-2,2]$
(D) $[0,3]$

Accepted Answer

正確答案為 C。 將 g(x) 改寫為 f(1)、f(-1)、f(0) 的線性組合，利用三角不等式與 |f(x)|≤1 的條件，可證 |g(x)|≤2，且上下界皆可達。 (A) 上界僅給到 1，但當 f(x)=2x²−1 時，g(x)=−x²+2，g(0)=2 超出此區間。 (B) 區間 [−1,1] 過窄。同上例 g(0)=2 或 f(x)=−2x²+1 時 g(0)=−2，皆超出此範圍。

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設 $a 、 b 、 c$ 為實數， f:[−1,1]→R 定義為 f(x)=ax2+bx+c 。已知當 x∈[−1,1] 時，函數 f(x) 滿足 ∣f(x)∣≤1 。若 g:[−1,1]→R 定義為 g(x)=cx2+bx+a ，則在 x∈[−1,1] 時， g(x) 之值是落在下列哪一個區間？

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