104 年 · 數學（中區聯盟）

著名的七橋問題是與下列哪一位數學家所研究的：

某工廠有三部機器 A、 B 、C ，產量分別占全部產量的 60%、30%、10%，又設三部機器所生產的不良品比率依次為 2% 、…

若同時投擲一枚不公正的硬幣與一枚公正的硬幣一次，兩枚都出現正面的機率是 $\log 3$，試問只投擲該枚不公正的硬幣一次時，出現…

擲一個骰子兩次，第一次點數大於第二次點數的機率為：

從 1,2,…,9 這 9 個數字中，一次任意抽取 3 個數字，求其中至少有兩個數字是連續正整數的情形有多少種？

根據內政部統計，50 歲的國民五年生存的機率為 0.92。王先生今年 50 歲，向壽險公司投保五年期人壽保險 4,000,000…

若l $\begin{array} { r } { \operatorname* { i m } _ { \mathbf { x…

設 $f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-1}$，下列敘述何者錯誤？

下列何者不是線性微分方程：

$\int_0^{\pi /4}\sin^3 2x\cos 2x\mathrm{d}x = ?$

試計算由 $y = x^{3} - 3x^{2} - x + 3$ 、x = 2 與 x 軸，從 x = -1 至 x = 2 …

函数 $f(x, y) = (x^3 + x)y^2$ ，则此一函数之偏微分 $f_{xy}(0, 1) = ?$

試求曲面 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 9$ ，求在(1,2,2)的切平面方程式為：

若 $f(x)$ 存在反函数 $f^{-1}(x)$ 且 $f(x)+f(-x)=3$ ，则 $f^{-1}(x-3)+f^{-…

$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{x^n}{n^2}$ 的收斂區間為:

$\lim_{x\to 1}\frac{1 - \sqrt{x}}{1 - x} = ?$

下列何者為奇函數？

設 $A=\begin{bmatrix}2 & 1 \\ 4 & 3\end{bmatrix}$ ，且 $A^{2}+xA+yI…

試求三階行列式 $\begin{vmatrix}1&1&1\\3&5&7\\9&25&49\end{vmatrix}$ 的值為何…

若 $P = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ ，且平面上二點 A(2…

若 $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 為方程式 $x^{3} - 8x^{2} + 13x - 6 =…

有一橋不知其寬，只知長15公尺的圓木材流過橋下需14秒，長23公尺的圓木材流過橋下需18秒，則橋寬是多少公尺？

已知一多項式 W，如果 $W \div (x + 1)$ 的餘式為 1，則 $\left[W \times (x - 1)\ri…

若 0.9 < a < 1，請比較 a、 $b = a^{a}$ 、 $c = a^{b}$ 三數的大小順序。

設 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 為分數， $ax^2 + bx + c = 0$ 的兩根都是分數，則 $b^2 - 4ac$…

設 $a_{1}=0$ ， $a_{2}=1$ ，且 $7a_{n}=4a_{n+1}+3a_{n-1}$ ， $n\geq2$…

設 $\log x + \log y = 1$ ，若 $x^{2} + y^{2} - 5x - 5y + 12$ 的最小值為 …

設 $n \in N$ ，n > 1， $x^{n} - 1 = 0$ 之根為 1， $a_{1}$ ， $a_{2}$ ，………

設 $x, y \in R$ ， $4x^{2} + y^{2} = 1$ ，若 $x^{2} + \frac{1}{2} |y…

已知 $\sqrt{5} y = x + 5z$ ，下列叙述何者正确？

設 $a \in R$ ，方程式 $x^{2} + a|x| + a^{2} - 6 = 0$ 有唯一的實數解，則 $a = ?…

設 $f(x) = x^{3} + ax^{2} + bx + 5$ 能被 $x^{2} - 1$ 整除，求 a - 4b 之值…

設 $A = 59^{5} + 5 \times 59^{4} + 10 \times 59^{3} + 10 \times 5…

從 1,2,...,100 這 100 個正整數中，最多可取多少個數出來，使得任意兩個數的和都不為 9 的倍數？

計算積分 $\int_{-2}^{2}\frac{2x + 4x^3}{1 + x^2 + x^4}\mathrm{d}x = …

設 $\alpha$ 、 $\beta$ 為 $x^{2} + 5x + 4 = 0$ 的二根，則 $(\sqrt{\alpha…

已知 $\theta$ 為一銳角，且 $\sin \theta - \cos \theta = \frac{1}{5}$ ，下列…

若 a、b、c 為三個連續正偶數，若 $ab + bc = 288$ ，則 $a + b + c = ?$

若 $-2 < \frac{x^2}{x - 4} < 0$ ，則下列何者正確？

若 $^{360}$ 乘開後為 x 位數，最高位數字為 y，個位數字為 z，下列何者錯誤？

已知正 m 邊形與正 n 邊形的一個內角度數比為 9:10，則直線 $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1…

如附圖，△ABC 中，有一點 P 在 AC 上移動。若 AB ＝ AC ＝5， BC ＝6，則 AP ＋ BP ＋ CP 的最小…

如附圖，ABCD 為平行四邊形， AB ＝6， BC ＝7。若∠B 的角平分線交 AD 於 E 點，則△ABE 和四邊形 EDC…

如附圖，△ABC 中，四分之一圓與 BC 切於 F 點， AH ⊥ BC ，半徑 DE // BC 。若 AH ＝10， BC …

如附圖，正方形 ABCD 的邊長是 8 公分， CG 為 6 公分，則長方形 DEFG 的寬 DE 是多少公分？ E A D F…

如附圖，扇形 OAB 半徑為 6，∠O 為 60 度，內有一圓與 OA 、 OB 、 AB 都相切，求內切圓的半徑是多少？ O …

如附圖，△ABC 中， AB ＝8， BC ＝10， AC ＝12， AD 為∠BAC 的角平分線，E 為 BC 中點，則 DE…

如附圖，距離地面 12 公分處有一點光源，使半徑為 3 公分的小球留在地面上的影長為 AB 。若 BC ＝5，則 AB ＝？ 光…

如附圖，梯形 $ABCD$ 中，$\overline{AB}=2$，$\overline{CD}=4$，兩對角線交於 $O$ 點…

有一矩形的四個頂點分別為 $A(0,0)$，$B(0,-2)$，$C(3,-2)$，$D(3,0)$。在矩形周界上任取一點 $P…