104 年 · 數學（新北市）

$(1 + \tan 15^{\circ})(1 + \tan 20^{\circ})(1 + \tan 25^{\circ})…

若 $\sin \theta$ 與 $\cos \theta$ 是方程式 $3x^{2} - x + a = 0$ 的兩根，則 …

已知矩形 ABCD 的外接圆圆心为 O，且圆心角 $\angle AOB = 60^{\circ}$ 。若此圆心角與圆弧所圍的扇…

設圓 $O$ 是 $\Delta ABC$ 的外接圓，圓心 $O$ 在 $\Delta ABC$ 的內部。若圓心角 $\angl…

坐標平面上，已知 $A(a, \sqrt{3})$ 、 $B(b, -\sqrt{3})$ 是圓 $(x - 1)^2 + y^…

已知滿足周長為10、面積為 $2\sqrt{5}$ 的等腰三角形恰有兩種，其中之一是三邊長為3、3、4的三角形，另一種是邊長為a…

下列哪一個方程式有正的實數解？

設 $a, b$ 為實數，若不等式 $x^{2} + ax + b > 0$ 的解為 $x > 2$ 或 $x < -3$ ，則…

若 $a$ 為實數，且圓 $(x - a)^2 + y^2 = 4$ 的圖形與直線 $4x - 3y - 6 = 0$ 相交，但…

若實數 $a_1, a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7$ 形成一等比數列，前三項之和 $a_1 + a_2…

將7枝相同的筆放入紅、黃、藍三個不同的鉛筆盒中，若每個鉛筆盒至少放入一枝筆，則有多少種不同的分法？

從 1,2,3,4,5,6,7,8,9 這九個數中，任取相異的三個數，則此三數可以排成等差數列的機率為何？

用 1,2,3,4 排成的五位數中，滿足數字 1 和 2 都至少出現一次的五位數有幾個？

設 $a, b, c$ 為實數， $a \neq 0$ ， $b^2 - 3ac = 0$ 。請問三次方程式 $ax^3 + b…

設 $a$ 為正整數， $a_{8}$ 表示 $a$ 的 8 進位表示法。求 $257_{8} \times 361_{8} =…

求50!展開後末尾有幾個零?

若 $(a, b, c)$ 為方程組 $\left\{ \begin{array}{l} x - y + 2z = 2 \\ 2…

若 $x = \frac{1 + \sqrt{2014}}{2}$ ，則多項式 $(2x^{2} - 2x - 1006)^{2…

若 $a, b$ 為實數且 $ab + a + b = 17$ ， $a^2b + ab^2 = 66$ 。則 $a$ 為下列哪…

已知矩形 OABC 的頂點 A 在 x 軸上，頂點 C 在 y 軸上，且頂點 B 在第一象限，O 為原點。有一雙曲線 xy = …

求多項式 $(x^{2} + x + 1)^{5}$ 展開的乘積中 $x^{7}$ 項的係數為何？

有一矩形，將其長增加3，寬減少50%。若新的矩形面積與原矩形面積相等，而原矩形的周長為新矩形的1.6倍，則原矩形的長與寬的差為何…

坐標平面上三點 A, B, C 分別在直線 y = -x 、 y = x 、 y = 2x + p 上，且向量 $\overri…

函数 $y = \sqrt{5 - 2x} + \sqrt{3 + 2x}$ 的最大值為何？

設等差數列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 項和為 $S_{n}$ ，已知 $a_{4} \geq 8$ ， $a_{5}…

設 $f(x) = \frac{1}{1 + a \cdot 3^{bx}}$ 是一個定義在實數上的函數，其中 $a, b$ 為…

給定函數 $f(x) = ax^2 + bx + c$ ，若 $f(x) = 0$ 時，各根之和、各根之積及 $f(x)$ 所有…

若數列 $\{a_{n}\}$ 前 $n$ 項的和恆滿足 $S_{n} = p \times n \times a_{n}$ 且…

試問大於 1，小於 100，且滿足 $(x^{3}-\frac{1}{x^{2}})^{n}$ 的展開式中有不含 x 的項之正整…

設 $f(x) = \sum_{k=1}^{20}(1 + x)^k$ ，則其展開式中各項的係數和為何？

已知函数 $f(x) = 4x^{2} - ax + 5$ 在區間 $(- \infty, -2)$ 上遞減，在區間 $(-2,…

若以點(2,3)、(3,2)為端點的線段與圓 $x^{2}+y^{2}-x-4y+k=0$ 相交，則k可為哪一個數？

設 $a = 1.732$ 。下列哪一組大小關係是正確的？

設 $a, b$ (其中 $a < b$ ) 為方程式 $x^3 - 4x^2 - 17x + 60 = 0$ 的兩個正根。已知…

有一等比的正數數列，設前三項之和為 A，第一、第三、第五項之和為 B。若 A: B = 4:19，則此數列的公比為何？

在複數平面上，滿足方程式 $|z - 4| = 3|z - 4\mathrm{i}|$ 的點 $z$ 形成一個圓。請問該圓的面積…

已知正整數 n 是四個連續正整數的乘積，但不是 5 的倍數。請問 n 的十位數字為何？

考慮下列三個線型函數： $f(x,y)=x+2y-1,\quad g(x,y)=2x+y+2,\quad h(x,y)=-x+y…

平面上有三個圓互相外切，其半徑分別為 12, 12, 3。現在三個圓的中間再畫一個小圓與這三個圓皆外切，請問這個小圓的半徑應為多…

對正整數 $n$ ，考慮二次函數 $y = x^{2} - 2x - n$ 的圖形：令其頂點到 $x$ 軸的距離為 $a_{n}…