設 $f(x) = \frac{1}{1 + a \cdot 3^{bx}}$ 是一個定義在實數上的函數，其中 $a, b$ 為兩個整數。若 $f(1) = \frac{3}{4}$ ， $f(x)$ 在[0,1]區間上…

Question

設 $f(x) = \frac{1}{1 + a \cdot 3^{bx}}$ 是一個定義在實數上的函數，其中 $a, b$ 為兩個整數。若 $f(1) = \frac{3}{4}$ ， $f(x)$ 在[0,1]區間上的最小值為 $\frac{1}{2}$ ，且滿足 $\lim_{x 	o -\infty} f(x) = 0$ ，則 $f(3)$ 之值為下列者？
(A) $\frac{15}{16}$
(B) $\frac{27}{28}$
(C) $\frac{64}{65}$
(D) $\frac{729}{730}$

Accepted Answer

正確答案為 B。 由極限與最小值條件解出 a=1、b=-1，代入 x=3 即可求得 f(3)=27/28。 (A) 計算錯誤或誤判 a、b 的值所致。 (B) 由極限條件知 b<0，故函數遞增，最小值在 x=0 取得，即 f(0)=1/(1+a)=1/2 得 a=1；再由 f(1)=1/(1+3^b)=3/4 得 b=-1，故 f(3)=1/(1+3^-3)=27/28。

設 $f (x) = \frac{1}{1 + a \cdot 3 ^{b x}}$ 是一個定義在實數上的函數，其中 $a, b$ 為兩個整數。若 $f (1) = \frac{3}{4}$ ， $f (x)$ 在[0,1]區間上的最小值為 $\frac{1}{2}$ ，且滿足 $lim_{x \to - \infty} f (x) = 0$ ，則 $f (3)$ 之值為下列者？

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