平面上有三個圓互相外切，其半徑分別為 12, 12, 3。現在三個圓的中間再畫一個小圓與這三個圓皆外切，請問這個小圓的半徑應為多少？ (A) 1 (B) $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ (C) $\frac{\sqrt{21}-1}{4}$ (D) $\frac{\sqrt{43}-2}{5}$

國中教甄｜數學數學104 年第 39 題單選題

平面上有三個圓互相外切，其半徑分別為 12, 12, 3。現在三個圓的中間再畫一個小圓與這三個圓皆外切，請問這個小圓的半徑應為多少？

A1正確答案

B$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

C$\frac{\sqrt{21}-1}{4}$

D$\frac{\sqrt{43}-2}{5}$

答案與詳解

正確答案

利用笛卡爾圓定理計算四圓外切時的曲率關係，求得小圓半徑為 1。

A1✓ 正確

根據笛卡爾圓定理，已知三圓曲率分別為 1/12、1/12、1/3，代入公式解得第四圓曲率為 1，故半徑為 1。

B$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$✕ 錯誤

此為干擾選項，可能是計算過程中代數運算錯誤或誤用其他幾何定理所得的結果。

C$\frac{\sqrt{21}-1}{4}$✕ 錯誤

D$\frac{\sqrt{43}-2}{5}$✕ 錯誤

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