定義符號 $n!$ 是從 1 到 $n$ 連續 $n$ 個正整數的乘積，試問 $\frac{1}{2!} + \frac{2}{3!} + \frac{3}{4!} + \ldots + \frac{99}{100!}$ 的值為何？ (A) $1 - \frac{1}{100!}$ (B) $1 + \frac{1}{100!}$ (C) $1 + \frac{2}{100!}$ (D) $1 - \frac{2}{100!}$ 。

國中教甄｜數學數學104 年第 40 題單選題

定義符號 $n!$ 是從 1 到 $n$ 連續 $n$ 個正整數的乘積，試問 $\frac{1}{2 !} + \frac{2}{3 !} + \frac{3}{4 !} + \dots + \frac{99}{100 !}$ 的值為何？

A$1 - \frac{1}{100!}$正確答案

B$1 + \frac{1}{100!}$

C$1 + \frac{2}{100!}$

D$1 - \frac{2}{100!}$ 。

答案與詳解

正確答案

利用裂項相消法將一般項改寫為兩項之差，進而求得級數和。

A$1 - \frac{1}{100!}$✓ 正確

一般項可化為 $\frac{1}{n!} - \frac{1}{(n+1)!}$，裂項相消後結果為 $\frac{1}{1!} - \frac{1}{100!} = 1 - \frac{1}{100!}$，計算完全正確。

B$1 + \frac{1}{100!}$✕ 錯誤

符號錯誤，裂項相消後末項應為減號而非加號。

C$1 + \frac{2}{100!}$✕ 錯誤

D$1 - \frac{2}{100!}$ 。✕ 錯誤

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