初考-統計統計學大意114 年第 32 題單選題考點：參數 λ 誤用考點：存活機率計算

假設某廠牌燈泡的使用期限 $X$ 符合平均數等於2年的指數分配（Exponential Distribution）。隨機選取一顆燈泡，計算其壽命超過1年的機率：

e^{- 2}

e^{- 1/2}

正確答案

1 - e^{- 2}

1 - e^{- 1/2}

答案與詳解

正確答案

指數分配的存活機率公式為 P(X > x) = e^(-λx)，其中 λ 是平均數的倒數。本題 λ=1/2，求 P(X > 1) 即為 e^(-1/2)。

A$e^{-2}$參數 λ 誤用✕ 易錯陷阱

此為誤將平均數 μ=2 直接當作參數 λ 代入存活函數 P(X > 1) = e^(-2*1) 所得的錯誤結果。

B$e^{-\frac{1}{2}}$存活機率計算✓ 正確

指數分配的平均數 μ=2，故參數 λ = 1/μ = 1/2。壽命超過1年的機率為 P(X > 1) = e^(-λ*1) = e^(-1/2)。

C$1 - e^{-2}$✕ 錯誤

D$1 - e^{-\frac{1}{2}}$✕ 易錯陷阱

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精選詳解

假設某廠牌燈泡的使用期限X符合平均數等於2年的指數分配（Exponential Distribution）。隨機選取一顆燈泡，計算其壽命超過1年的機率：