若X、Y為兩隨機變數，下列敘述何者錯誤？ (A) 若 X、Y 互相獨立，則 $\rho_{XY}=0$ (B) 若 $Cov(X,Y)=0$ ，則 $X,Y$ 互相獨立 (C) 若 X、Y 互相獨立，則 $E(XY)=E(X)E(Y)$ (D) 若 X、Y 互相獨立，則 $Cov(X,Y)=0$

正確答案為 B。獨立必不相關,但不相關(Cov=0)不一定獨立,故(B)錯誤。 (A) 正確。獨立 ⇒ Cov=0 ⇒ ρ_{XY}=Cov/(σ_Xσ_Y)=0。 (B) 錯誤。Cov(X,Y)=0 僅表示無線性關係,可能仍存在非線性相依關係,不能推得獨立。唯一例外為聯合常態分配時兩者等價。

初考-統計統計學大意114 年第 1 題單選題

若 $X$ 、 $Y$ 為兩隨機變數，下列敘述何者錯誤？

A若

X

、

Y

互相獨立，則

ρ_{X Y} = 0

B若

Cov (X, Y) = 0

，則

X

、

Y

互相獨立正確答案

C若

X

、

Y

互相獨立，則

E (X Y) = E (X) E (Y)

D若

X

、

Y

互相獨立，則

Cov (X, Y) = 0

答案與詳解

正確答案

獨立必不相關,但不相關(Cov=0)不一定獨立,故(B)錯誤。

逐選項解析

A若 X、Y 互相獨立，則 $\rho_{XY}=0$✕ 錯誤

正確。獨立 ⇒ Cov=0 ⇒ ρ_{XY}=Cov/(σ_Xσ_Y)=0。

B若 $Cov(X,Y)=0$ ，則 $X,Y$ 互相獨立✓ 正確

錯誤。Cov(X,Y)=0 僅表示無線性關係,可能仍存在非線性相依關係,不能推得獨立。唯一例外為聯合常態分配時兩者等價。

C若 X、Y 互相獨立，則 $E(XY)=E(X)E(Y)$✕ 錯誤

D若 X、Y 互相獨立，則 $Cov(X,Y)=0$✕ 錯誤

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