設 $a, b$ 均為有理數，且 $ab \neq 0, x, y$ 均為無理數，則下列敘述何者為真？ (A) $a + b\sqrt{2}$ 必為無理數 (B) $xy$ 為無理數 (C) $\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ 無理數 (D) 若 $a + x = b + y$ ，則 $a = b$ 且 $x = y$

國小教甄｜普通科數學103 年第 21 題單選題

設 $a, b$ 均為有理數，且 $ab \neq = 0, x, y$ 均為無理數，則下列敘述何者為真？

A$a + b\sqrt{2}$ 必為無理數正確答案

B$xy$ 為無理數

C$\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ 無理數

D若 $a + x = b + y$ ，則 $a = b$ 且 $x = y$

答案與詳解

正確答案

非零有理數與無理數的乘積必為無理數，再加上有理數仍為無理數，故選項(A)正確。

A$a + b\sqrt{2}$ 必為無理數✓ 正確

因為 $b$ 為非零有理數（已知 $ab \neq 0$），$\sqrt{2}$ 為無理數，故 $b\sqrt{2}$ 必為無理數；有理數 $a$ 加上無理數 $b\sqrt{2}$，其和必為無理數。

B$xy$ 為無理數✕ 錯誤

兩個無理數的乘積不一定為無理數。例如令 $x=\sqrt{2}$，$y=\sqrt{2}$，則 $xy=2$ 為有理數。

C$\frac{x}{a} + \frac{y}{b}$ 無理數✕ 錯誤

D若 $a + x = b + y$ ，則 $a = b$ 且 $x = y$✕ 錯誤

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