115 年 · 數學（高雄市）

已知直角三角形，斜邊上的中線長是 1，問其面積最大是多少呢？

已知 $f(x)$ 是一個三次多項式， $f(1)=0, f(2)=2, f(-1)=2, f(-2)=-6$ ，求 $f(3)…

有一直徑為 $\overline{AB}$ 的圓，且圓上有 $C, D, E, F$ 四點，其位置如右圖一所示。若 $\over…

先求 $\frac{6x - 2}{x^2 + 5} + \frac{x^2 + 5}{6x - 2} = 2$ 的所有解，問這…

設 a 為正整數且 $1 \leq a \leq 2026$ ，已知 $3^{3a+1}$ 與 $a^{3}$ 被 5 除的餘數…

在直角坐標系中，已知兩定點 $A(-3,3)$ ， $B(2,-4)$ ，且動點 $C$ 落在兩坐標軸上，使得 $\triang…

已知 A, B 為樣本空間 S 中的兩個獨立事件，且 $P(A \cup B) = 0.84$ ，則 $P(A \cap B)$…

投擲一個兩面的錢幣直到出現2次正面或2次反面時才停止投擲，令隨機變數X為投擲停止的次數。假設出現正面的機率為p，求X的期望值為多…

若 x, y 皆為任意實數，則 $\left|x-y-1\right|+\left|x+y\right|+\left|y\rig…

如右圖二，已知 $\overline{AB} = \overline{AC} = 3\overline{AD} = 3$ ， $…

有美國人、英國人與法國人各四人，合計共 12 人，現在玩遊戲需要每兩個人配對成一組，共配對成六組，但相同國籍的人不能在同一組，且…

已知四邊形 $ABCD$ 中， $\overline{BC} // \overline{AD}$ ， $\overline{AC…

設 $a, b, c, d$ 為四個兩兩不相等的實數，且 $(a + c)(a + d) = (b + c)(b + d) = …

一副 52 張的撲克牌經任意洗牌後，牌面向下，然後一張一張翻開，當第一次出現的牌點數為 5 時，緊接著下一張牌仍出現點數 5 的…

若級數和滿足 $\frac{1^2}{1\times 3} +\frac{2^2}{3\times 5} +\frac{3^2}…

過點 $P(1,1)$ 作直線 $x + ay + b = 0$ ，使得它被橢圓 $4x^{2} + 9y^{2} = 36$ …

設 A, B 為 $y = x^{2}$ 上的兩點，若 $\overline{AB}$ 的中垂線方程式為 $y = -x + 2…

把 900 分解成兩個正整數的乘積，若 ab, ba 看作同一種，問有幾種不同的分解呢？

已知 $a, b, c, d$ 為等比數列的連續四項，且滿足 $a > b > c > d$ 。若 $a^{80} = b^{m…

在 $\triangle ABC$ 中作 $\angle A$ 的角平分線交於底邊 $\overline{BC}$ 於點 $D$…

如右圖三， $\overline{AB} = \overline{AC}$ ， $\angle BAC = 2\angle BE…

已知菱形 ABCD 的邊長為 10，M 在 $\overline{BC}$ 上，且 $\overline{BM}=4$ 。今在 …

實數x，y，z滿足 $x+y+z=5$ ， $xy+yz+zx=3$ ，當x=a，y=b時，z有最大值為c，求 $a+2b+3c…

設 $y = \sin \left( \frac{\pi}{3} + x \right) - \sin 3x$ 的最小值為 $k…

圖四，曲線為二次函數 $y = -3(x - a)^{2} + b$ 示意圖，其中 C 為頂點且 $\overline{AB}$…

$\Delta ABC$ 中， $\overline{AB}=c$ ， $\overline{BC}=a$ ， $\overli…

圖五中， $(a,0)$ 為 $x$ 軸上一點，兩曲線分別為 $y = \log_b x$ 和 $y = \log_c x$ ，…

圖六中 $\triangle ABC$ 為一直角三角形，其中 $\angle ACB = 90^{\circ}$ ， $B(b,…

設實數對 $(a,b)$ 使得方程式 $2x^{2}+(a+3)x+b-3=0$ 與 $x^{2}+ax+b=0$ 各有兩整數根…

已知 $\Delta ABC$ 的三邊長均為整數，M 為 AB 的中點。令 $p = \overline{AC} + \over…

數列 $\{a_{n}\}$ 滿足 $a_{1}=1$ ， $a_{n+1}=a_{n}+\frac{1}{a_{n}}$ （n…

若實矩陣 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ ， $B = \…

如圖七， 1 2 1 2 1 2 ( , ), ( , ), ( , ), u u u v v v w w w = = = 則下…

\operatorname* { l i m } _ { n \to \infty } { \frac { \left[ { \…

平面上，曲線 x ^ { 2 } + x y + y ^ { 2 } = 7 ，在(2，1）的切線為

如圖八，△ABC 中，$\angle C=90^{\circ}$，$\overline{AB}$ 的中垂線分別交 $\overl…

若 v = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ -1 \end{array} \right) 是…

已知直角坐標平面上兩點 A ( \cos 2 0 ^ { \circ } , \sin 2 0 ^ { \circ } ) 與 …

已知三角形ABC 三邊長分別為 a ^ { 2 } - 1 \ , \ 2 a + 1 \ , \ a ^ { 2 } + a …

試求微分方程式 x y ^ { \prime } + 2 y = 4 x ^ { 2 } ~ , y ( 1 ) = 4 ~ ^…

若 \begin{array} { r } { a _ { n } = \sum _ { k = 1 } ^ { 2 n } \…

若θ為任意實數，函數 f ( \theta ) = 8 \sin ^ { 3 } \theta - 6 \sin \theta …

求積分 \int _ { 0 } ^ { 1 } \frac { 2 } { ( x + 1 ) ^ { 2 } } dx等於

求積分 \int _ { 0 } ^ { \frac { \pi } { 2 } } \sin 2 \theta d \thet…

求瑕積分 \int _ { - \infty } ^ { \infty } { \frac { x } { 1 + x ^ { …

一電腦螢幕如圖九之長方形ABCD，長 \overline { { A B } } = 1 6 ，寬 \overline { { …

本學期期末數學月考中，甲班50人的平均分數為65分，標準差為4分；乙班50人的平均分數亦為65分，標準差為3分。若將這兩組考生成…

設f(x)是一個三次實係數多項式，且滿足恆等式 f ( x ) + f ( 2 0 2 6 - x ) = 1 1 5 對任意實…

設 \Delta A B C 的三邊長分別為 a \ \cdot \ b \ \cdot \ c \ \circ 若 \tria…

考慮複數平面，i 是虛數，對於任意複數 𝑧 ，定義 cos 𝑧 = ， 2 下面那個不是 cos 𝑧 = 2 的解呢？