設圓 A 與圓 B 的半徑分別為 a 與 b，其中 a b 且兩圓的連心線長為 c。若方程式 $x^{2} - 2ax + ac = b(c - b)$ 有兩實根，則下列敘述何者正確？

Question

設圓 A 與圓 B 的半徑分別為 a 與 b，其中 a > b 且兩圓的連心線長為 c。若方程式 $x^{2} - 2ax + ac = b(c - b)$ 有兩實根，則下列敘述何者正確？
(A) 兩圓外離
(B) 兩圓外切
(C) 兩圓相交
(D) 兩圓內離

Accepted Answer

正確答案為 C。 本題利用一元二次方程式的判別式來判斷兩圓的位置關係。由判別式大於零可推得連心線長小於兩半徑之和，依官方答案脈絡對應兩圓相交。本題條件推論未臻嚴謹，另有爭議，詳見答案效力說明。 (A) 兩圓外離的條件為 $c > a+b$，與判別式推論結果 $c < a+b$ 矛盾，故不選。 (B) 兩圓外切的條件為 $c = a+b$，與判別式推論結果 $c < a+b$ 矛盾，故不選。

設圓 A 與圓 B 的半徑分別為 a 與 b，其中 a > b 且兩圓的連心線長為 c。若方程式 $x^{2} - 2 a x + a c = b (c - b)$ 有兩實根，則下列敘述何者正確？

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