國中教甄｜數學數學108 年第 50 題單選題

設D、E、F分別為△ABC三邊 $\overline{A B}$ 、 $\overline{B C}$ 、 $\overline{C A}$ 上的點， $\overline{B F}$ 交 $\overline{C D}$ 於M點，且知 $\overline{A D} = \overline{D E} = \overline{E F} = \overline{F A} = \overline{D F} = 1$ 。若 $R_{1}, R_{2}$ 分別為△BDM和△CFM外接圓半徑，則 $R_{1} \cdot R_{2}$ 的值為何？

A$\frac{1}{2}$

B$\frac{1}{3}$正確答案

C$\frac{1}{4}$

答案與詳解

正確答案

AD = DE = EF = FA = DF = 1 → ADEF 為菱形且 △ADF、△DEF 都是正三角形，∠BDF = ∠DFC = 120°；由平行得 BD·FC = DE·EF = 1，進而 △BDF ∼ △DFC，推得 ∠BMD = ∠CMF = 60°；正弦定理 R₁ = BD/(2sin60°)、R₂ = CF/(2sin60°)，R₁R₂ = BD·CF/3 = 1/3。