設 a>0，b>0，則 $(a+\frac{1}{b})(2b+\frac{1}{2a})$ 的最小值為何？ (A) $\frac{9}{2}$ (B) 4 (C) 3 (D) $\frac{5}{2}$

國中教甄｜數學數學108 年第 41 題單選題

設 a>0，b>0，則 $(a + \frac{1}{b}) (2 b + \frac{1}{2 a})$ 的最小值為何？

A$\frac{9}{2}$正確答案

D$\frac{5}{2}$

答案與詳解

正確答案

利用算術幾何平均不等式將展開後的式子配對，即可求得最小值為 9/2。

逐選項解析

A$\frac{9}{2}$✓ 正確

展開原式得 $2ab + \frac{1}{2} + 2 + \frac{1}{2ab} = 2ab + \frac{1}{2ab} + \frac{5}{2}$。由算術幾何平均不等式，$2ab + \frac{1}{2ab} \ge 2\sqrt{2ab \cdot \frac{1}{2ab}} = 2$，故最小值為 $2 + \frac{5}{2} = \frac{9}{2}$。

B4✕ 錯誤

此數值並非原式的最小值，可能是考生在展開或套用不等式時計算錯誤所得的結果。

C3✕ 錯誤

D$\frac{5}{2}$✕ 錯誤

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