已知 $P(-2, \sqrt{3})$ 是橢圓 $\Gamma: \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 上一點，0 表橢圆 $\Gamma$ 的中心。今要在 $\Gamma$ 位於第一象限的曲線一點 Q，使得 $\Delta O PQ$ 之面積最大，則 Q 點座標為？

正確答案為 A。僅有選項(A)的座標滿足橢圓方程式，且透過參數式求得面積最大時的角度亦指向該點。

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國中教甄｜數學數學108 年第 33 題單選題

已知 $P (- 2, 3)$ 是橢圓 $Γ : \frac{x ^{2}}{16} + \frac{y ^{2}}{4} = 1$ 上一點，0 表橢圆 $Γ$ 的中心。今要在 $Γ$ 位於第一象限的曲線一點 Q，使得 $Δ O P Q$ 之面積最大，則 Q 點座標為？

A$(2\sqrt{3},1)$正確答案

B$(1,\sqrt{3})$

C$(\sqrt{3},2)$

D$(1,2\sqrt{3})$

答案與詳解

正確答案

僅有選項(A)的座標滿足橢圓方程式，且透過參數式求得面積最大時的角度亦指向該點。

為什麼答案是 A

代入橢圓方程式得 $\frac{( 2 3 ) ^{2}}{16} + \frac{1 ^{2}}{4} = \frac{12}{16} + \frac{1}{4} = 1$ 成立。若以參數式 $x = 4 cos θ, y = 2 sin θ$ 計算，當 $θ = 3 0^{\circ}$ 時面積最大，對應座標即為 $(23, 1)$ 。

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