設 $0 \leq \theta \leq 2\pi$ ，已知所有滿足 $\sin 2\theta > \sin \theta$ 且 $\cos 2\theta > \cos \theta$ 的 $\theta$ 可表示成 $a\pi < \theta < b\pi$ ，其中 $a, b \in \mathbb{R}$ ，試問： $b - a$ 的值為何？ (A) $\frac{1}{4}$ (B) $\frac{1}{3}$ (C) $\frac{2}{3}$ (D) 1

正確答案為 B。解三角不等式 $\sin 2\theta > \sin \theta$ 與 $\cos 2\theta > \cos \theta$ 取交集，得到 $\pi < \theta < \frac{4\pi}{3}$，故 $b-a = \frac{1}{3}$。 (A) 計算錯誤或交集區間取錯，無法得出此數值。 (B) 兩不等式解分別為 $\theta \in (0, \frac{\pi}{3}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{3})$ 與 $\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$，交集為 $(\pi, \frac{4\pi}{3})$，故 $b-a = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$。

國中教甄｜數學數學115 年第 68 題單選題

設 $0 \leq θ \leq 2 π$ ，已知所有滿足 $sin 2 θ > sin θ$ 且 $cos 2 θ > cos θ$ 的 $θ$ 可表示成 $aπ < θ < bπ$ ，其中 $a, b \in R$ ，試問： $b - a$ 的值為何？

A$\frac{1}{4}$

B$\frac{1}{3}$正確答案

C$\frac{2}{3}$

答案與詳解

正確答案

解三角不等式

sin 2 θ > sin θ

與

cos 2 θ > cos θ

取交集，得到

π < θ < \frac{4 π}{3}

，故

b - a = \frac{1}{3}

。

逐選項解析

A$\frac{1}{4}$✕ 錯誤

計算錯誤或交集區間取錯，無法得出此數值。

B$\frac{1}{3}$✓ 正確

兩不等式解分別為 $\theta \in (0, \frac{\pi}{3}) \cup (\pi, \frac{5\pi}{3})$ 與 $\theta \in (\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3})$，交集為 $(\pi, \frac{4\pi}{3})$，故 $b-a = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$。

C$\frac{2}{3}$✕ 錯誤

D1✕ 錯誤

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