國中教甄｜數學數學115 年第 64 題單選題

設 $x$ 為正實數，滿足 $x^{2} - 3 x - 1 = 0$ ，則 $x^{3} + x^{2} + x^{- 2} - x^{- 3}$ 之值為下列何者？

A39 \quad

B43 \quad

C47 \quad正確答案

D51$

答案與詳解

正確答案

利用

x - x^{- 1} = 3

求出

x^{2} + x^{- 2} = 11

與

x^{3} - x^{- 3} = 36

，相加即得 47。

A39 \quad✕ 錯誤

計算過程中可能誤將 $x^2 + x^{-2}$ 算為 9，或立方差公式展開錯誤，導致結果為 39。

B43 \quad✕ 錯誤

可能在計算 $x^3 - x^{-3}$ 時，誤用公式 $(x - x^{-1})(x^2 + x^{-2})$ 而漏加 1，得出 33，加上 11 後得 44，或出現其他算術錯誤得 43。

C47 \quad✓ 正確

D51$✕ 錯誤

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設 x 為正實數，滿足 x2−3x−1=0 ，則 x3+x2+x−2−x−3 之值為下列何者？