X1 及 X2 為兩個自由度 v1 及 v2 的獨立卡方隨機變數，即 X1 ~ χ²(v1)，X2 ~ χ²(v2)。則下列敘述何者正確？（下列 F(a,b) 表示自由度為 a,b 的 F 分配。）

初考-統計統計學大意111 年第 29 題單選題

$X_{1}$ 及 $X_{2}$ 為兩個自由度 $v_{1}$ 及 $v_{2}$ 的獨立卡方隨機變數，即 $X_{1} \sim χ^{2} (v_{1})$ ， $X_{2} \sim χ^{2} (v_{2})$ 。則下列敘述何者正確？（下列 $F (a, b)$ 表示自由度為 $a, b$ 的 F 分配。）

(X_{1} / v_{1}) / (X_{2} / v_{2}) \sim F (v_{1}, v_{2})

(X_{1} / v_{1}) / (X_{2} / v_{2}) \sim F (v_{1} - 1, v_{2} - 1)

(X_{2} / v_{1}) / (X_{1} / v_{1}) \sim F (v_{2}, v_{1})

正確答案

(X_{1} / v_{1}) / (X_{2} / v_{2}) \sim F (v_{1}, v_{2}) / (v_{1} - 1) (v_{2} - 1)

答案與詳解

正確答案

F分配定義:兩獨立卡方除以各自自由度之比。(C)分子用X₂/v₂應為正解,但題目寫v₁疑為印刷錯誤;(A)為標準定義式。

若視為 $(X_{2} / v_{2}) / (X_{1} / v_{1}) \sim F (v_{2}, v_{1})$ 則正確(分子分母互換,自由度也互換);題目分子若真為 $X_{2} / v_{1}$ 應屬印刷誤植。

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