在一迴歸分析中，(X,Y) 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 yi = b0 + b1xi + εi，i = 1,...,5，其中 εi ~ iid N(0, σ²)。X: 5, 3, 6, 2, 4；Y: 21, 15, 23, 12, 18。請問迴歸線係數 b0, b1 的最小平方估計值為何？

正確答案為 D。經計算 $SS_{XY}=28, SS_{XX}=10$，得斜率 $\hat{b}_1 = 28/10 = 2.8$；代入截距公式 $\hat{b}_0 = \bar{Y} - \hat{b}_1\bar{X} = 17.8 - 2.8 \times 4 = 6.6$。完全符合。

初考-統計統計學大意111 年第 24 題單選題

在一迴歸分析中， $(X, Y)$ 的抽樣資料如下表，且假設迴歸模型為 $y_{i} = b_{0} + b_{1} x_{i} + ε_{i}$ ， $i = 1, ..., 5$ ，其中 $ε_{i} \sim iid N (0, σ^{2})$ 。 $X$ : 5, 3, 6, 2, 4； $Y$ : 21, 15, 23, 12, 18。請問迴歸線係數 $b_{0}, b_{1}$ 的最小平方估計值為何？

\hat{b}_{0} = 5.2

\hat{b}_{1} = 3.8

\hat{b}_{0} = 6.6

\hat{b}_{1} = 3.4

\hat{b}_{0} = 5.2

\hat{b}_{1} = 3.1

\hat{b}_{0} = 6.6

\hat{b}_{1} = 2.8

正確答案

答案與詳解

正確答案

透過計算離差平方和求得斜率

\hat{b}_{1} = 2.8

，再由迴歸線必過樣本平均數點求得截距

\hat{b}_{0} = 6.6

。

為什麼答案是 D

經計算 $S S_{X Y} = 28, S S_{X X} = 10$ ，得斜率 $\hat{b}_{1} = 28/10 = 2.8$ ；代入截距公式 $\hat{b}_{0} = \overset{ˉ}{Y} - \hat{b}_{1} \overset{ˉ}{X} = 17.8 - 2.8 \times 4 = 6.6$ 。完全符合。

載入中…

步驟	公式 / 說明	本題計算結果
1. 算平均數	$\bar{X} = \frac{\sum X}{n}, \bar{Y} = \frac{\sum Y}{n}$	$\bar{X} = 4, \bar{Y} = 17.8$
2. 算離差平方和	$SS_{XX} = \sum X^2 - n\bar{X}^2$ $SS_{XY} = \sum XY - n\bar{X}\bar{Y}$	$SS_{XX} = 90 - 5(16) = 10$ $SS_{XY} = 384 - 5(4)(17.8) = 28$
3. 求斜率 $\hat{b}_1$	$\hat{b}_1 = \frac{SS_{XY}}{SS_{XX}}$	$\hat{b}_1 = \frac{28}{10} = 2.8$
4. 求截距 $\hat{b}_0$	$\hat{b}_0 = \bar{Y} - \hat{b}_1\bar{X}$	$\hat{b}_0 = 17.8 - 2.8(4) = 6.6$