隨機變數 X 的機率函數為 $f(x)=(1-p)^{x-1}p$ ， $x=1,2,\cdots$ ，則 $E(X)=?$ (A) p (B) $\frac{1}{p}$ (C) $p(1 - p)$ (D) $p^{2}$

初考-統計統計學大意111 年第 30 題單選題

隨機變數 X 的機率函數為 $f (x) = (1 - p)^{x - 1} p$ ， $x = 1, 2, \dots$ ，則 $E (X) = ?$

p

\frac{1}{p}

正確答案

p (1 - p)

p^{2}

答案與詳解

正確答案

看到機率函數 f(x) = p(1-p)^(x-1) 就要秒認出這是「幾何分配」，其期望值 E(X) = 1/p，代表平均需要試驗幾次才會成功。

逐選項解析

Ap✕ 錯誤

p 是單次試驗成功的機率（即伯努利分配的期望值），並非幾何分配的期望值。

B$\frac{1}{p}$✓ 正確

C$p(1 - p)$✕ 易錯陷阱

p(1-p) 是伯努利分配的變異數 Var(X)，考選部常將不同分配的期望值與變異數混在一起考，需特別留意。

D$p^{2}$✕ 錯誤

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